LOS

D cz)", Fix) — Li. sus + x) d'où résulte

On F'(o)——1,.…, F'(o)}—E1.2.:.(2— 1), et, par D ent,

re T° Fe

ita)=z + rt (0e)

La série serait composée de termes indéfiniment croissants si l’on supposait x => 1, parce que la limite du rapport d’un terme au précédent est x, lorsque leurs exposants augmentent indéfiniment (vorr à la fin la Note sur les séries). Il suffit donc de s'assurer si le reste tend vers zéro quand on a x 1, et pour cela il faut distinguer deux

cas. Si x est positif, on a

0 1 ST 1; et par conséquent le reste tend vers zéro, et la série converge vers l(1+ x).

Si æ est négatif et qu'on le représente par — z, le reste

D (Ne se résente Jas sous unë forme ropre :

n(1— 62)" P Î propre à

faire reconnaitre s'il tend vers zéro, parce que l’on n'a: percoit pas lequel est le plus grand des deux termes dela

; z he fraction ——— Maïs si l’on prend la seconde forme que

ms Z

nous avons indiquée pour le reste, On trouvera pour le

a" (1 — 0)" ; k à | cas actuel =, ou, abstraction faite du signe, (1 +Ox} z — Es ET 3 L100) 1— 02 z — 03

Or la fraction -

est moindre que l'unité si z 1;

donc le reste tend vers zéro, et la série représente 1 (1=æ): Cette série peut donc être employée pour toutes les wa: leurs de x comprises entre +1 et —1.

On peut obtenir des séries plus convergentes que la précédente et plus applicables au calcul des logarithmes. LL

Si dans la formule <

x° T° li + x) = x — — + — se.) 2. 9

on change x en — x, on obtient

Posant

il vient

= io +10

I I Ï "+ — ne Eee RON PEER 1} | Cette série très-convergente donne la différence des logarithmes de deux nombres entiers consécutifs, et fait connaître, par conséquent, les logarithmes de tous les nombres entiers depuis l'unité.

Connaissant les logarithmes dans la basee, on les obtiendrait dans toute autre base , en les divisant par le logarithme de la nouvelle base pris dans la base e.

Nous ferons connaître plus tard des procédés plus « com modes pour la construction des Tables de logarithmes.

3°. Soit maintenant

HR ORREUE ES rm à on aura Dem (rt xt, Etfx)=mim—i).. (m—n+i1)(i+ x),

et, par suite,

(+ x} = 1 + mx + FU de. ÿ.

m(m—i).. (m2 + 1) ; See ER RE (I + Gr