LEZ

Pour que la série indéfinie représente (1 + x)", il est d’abord nécessaire qu’elle soit CHER Or le rapport du —— P a

P vers — x à mesure que p augmente; donc la série n’est pas convergente s1 x est en dehors des limites + 1 et —r. : Il suflit donc de reconnaître si le reste tend vers zéro pour

terme de rang p au précédent est ! x, et tend

toutes les valeurs de x comprises entre ces limites.

Ce reste peut se décomposer dans les deux facteurs

| Dr)"-r, TDR EST “ Gb 2)

Le premier tend vers zéro, parce que si 72 augmente

L] 0 , . . . y 77 JL . s d'une unité, il se trouve multiplié par : x qui s'ap- | n+i proche de plus en plus de — x dont la valeur absolue est

(1+ 0x)" CEE si l’on suppose d’abord x positif, il tend aussi vers zéro, à moins que Ÿ ne s'approche indéfiniment de zéro, maïs

. 9 0 , Li moindre que l'unité; et quant au second facteur

dans tous les cas ce facteur reste plus petit que l'unité, Ets par conséquent, le reste de la série tend vers zéro: Donc elle représente (1 + x)" pour toutes les valeurs de x comprises entre o et +1.

Mais si x est négatif, rien ne prouve que le second fa teur ne croitra pas indéfiniment avec 2, et cela arrivera même certainement, à moins que 0 ne tende vers zéros car l'expression (1+ 0x)" tendrait vers zéro si la fraction 1+ 0x ne s’approchait pas indéfiniment de l’unité. Il faut alors avoir recours à la seconde forme du reste, qui est

mim—i)...(m—n+i)at(i—0!

mm—i)...(m—n+i)x

Le factenr tend encore vers

1 D 2 es: 7151 zéro; l’autre facteur devient , en remplaçant x par,