Oz}n—t +4 k

1 — 0 : 1 —— OA‘ Oron a 1er À ——— LS <U1, puisque z<[1 : donc +

tendra vers zéro, à moins que Ü ne tende vers zéro5“et

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 305 dans ce cas mème celte expression est toujours moindre que l'unité. Donc le reste de la série tend vers zéro, et, par conséquent, celle-ci peut être employée pour toutes les valeurs de x comprises entre +1 et—7,

4°. En prenant successivement

De) --sinr, ,Fif)=çcosz,

on est conduit aux séries suivantes qui sont exactes, quel que soit x :

; | 8 Pi F2 #

D — — — : seu, Mn 2:3 45" 1:2.3:4.8.,0 7 La 3 5H

COSX Z 1 — -

É.2 JS GA TER 1.2.3 4.5.6 as

Elles supposent le rayon égal à l’unité, c’est-à-dire que x désigne le rapport de l'arc au rayon du cercle; et sinx, cosx désignent les rapports des lignes auxquelles elles correspondent, à ce même rayon : dans le cas où il se-rait désigné par R, on remplaceraït dans les seconds

#5 fi , L2 membres x par + R étant le rayon ; et dans les premiers

sinx et COS X par Re — Quelque grand que soit x, les termes finissent par aller constamment en diminuant, et comme ils sont alternativement positifs et négatifs, lerreur commise en arrêtant la série à un terme quelcouque est moindre que le suivant.

5°, Considérons maintenant des fonctions de x + k,

et soit d’abord F (x) — x”; on trouvera, quel que soit m,

REX l NM in m—| } ENTRER 1) .M—2 },2 We — L° + Inx D + —— x ds Er 5 SU TRE A ESS 7 DRE” ), LT SR TE La n+ I An!

UE AND NT ee à DOS NT 1 13 1) RARE, (x + 0% n=n,

PR 7e

306 LIVRE Il.

#41 mn — iita Le rapport du terme de rang p au précédent est AT

k er 4 et tend vers — — quand p augmente indéfiniment; la sé= EF |

rie ne sera donc convergente que si l’on a À < x, abstrac= tion faite des signes. Quant au reste, on reconnaîtra;s comme dans le cas de (1 + x)", que si est compris entre + x et— x, il tend vers zéro; et la série repré" 4 sente par conséquent {x + h)".

6°. Soit encore

F(r}i=toee,

Fr” és de log €

19 Enr) = OA

on trouvera

k h° a o h)=— los 4 Pr (ECS MAMT ES ES log (+ 4) OBrrte las € É 2 x? Se n (x + |

La convergence de la série exige encore À x; dans cé cas, on reconnaîtra, comme dans le cas de log (1 + x}, que le reste tend vers zéro, à mesure que 7: augmente , et. que, par conséquent, log (x + ) peut se développer par la formule de Taylor, lorsque XL est compris entre + x et — x. | On déduirait le développement de log (x + h) de celui de log (1 + x), en observant que | ; /, log (x + À) — log:x = log (+ :) ; DA et de même on aurait déduit le développement de (x-#4}" de celui de (1 + x)", en observant que

On développerait aussi a°*”, en remarquant que

RTE A (ah — 1),

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 307 et il resterait à développer a” par la formule donnée cidessus.

293. Extension de la formule de Taylor aux fonctions de plusieurs variables. — Proposons-nous maintenant de développer F (x + », y +) suivant les puissances de ketk, F(x, y) étant une fonction donnée. Pour cela nous considérerons d'abord la fonction F (x+At, y+kt), et nous la développerons suivant les puissances de £ par la formule de Maclaurin : il sufira ensuite de faire t—1 pour avoir le développement cherché. Or, pour avoir les coeflicients des différentes puissances de £, il faut prendre les dérivées successives de F (x+ ht, y+kt) par rapport à r, puis y faire £— 0. On irouvera par la règle des fonctions composées de fonctions linéaires, en entendant que dans toutes les dérivées partielles de F (x, y) on remplace x et y par r+ht, y + At,

EU. CdE dE

pr pad sa t/ —+- dy 4 s LE d'F a?EF d?F RAT hp: ? A es dt? dx? Tr dy de x d fs dE dE dE d'F EE SCT Jo 4% n—1 Z A a Re UE lee da RNB LEE dy k.

Si l’on fait 1 — o dans toutes ces dérivées partielles, elles

deviennent celles de la fonction même F (x, y). On aura donc

[dF IF

F @x +ht, y ÆA)=T(x,7)+ (4 LA se

ve: dy

e° d'E drEF D (Tr : }n Ma C2) dx dy" z+0ht, > +0kt, æ et ÿ étant remplacés par x + 0ht et y + 0ke dans le coefficient de t". Faisant maintenant { — 1, on aura le développement cherché :

pe ps Pr MAig 2 < 2. x CASA

Far. (a)

dE, @F es ne AMF jm } LS MERE A me + + . ace CEE à à lslne—3) ï D . Éi-S DRM AR ns J:

LUSRT RES ; Ke dy? 1,2 de" dy?1.…..(n-3) EPS

5e - | at AE AU |

< ÈË ss dr RP AE EE à mr" E : | | Eee.

Fe : | | ; A Hate x+06h Re” LE | r+08k ES üu, en employant la notation des différentielles totales, et représentant k, k par dx, dy etF(x,7)

ë | par F, |

nt 41e AT 4 dMF(x +0 dx,y +0 dy) ie EE + dy) = tasse un M cn 0 RE. ;

nee CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 300

pourvu que toutes les dérivées partielles, jusqu'à l'ordre inclusivement, soient continues entre x + het y +.

On aurait une formule analogue si au lieudeF (x, y)on avait une fonction d’un nombre quelconque de variables.

Pour que cette série, poussée indéfiniment, représente F{x+h,y+k), il faut que l'ensemble des termes qui expriment le reste tende vers zéro; et l’on pourra s’en | assurer en prenant la valeur de 8 qui rendrait ce reste le plus grand possible, et cherchant si cette valeur maximum tend vers zéro lorsque 7 croît indéfiniment, Quand il arrivera que chaque terme du reste tende vers zéro, quelque valeur qu'ait 9 entre o et 1, il sera prouvé que Île reste lui-même diminue indéfiniment; et la fonction F{(x+A, y + k) sera développable en série suivant les puissances entières et positives de À ct k.

Si dans la formule précédente on fait x —0,y—0, on a le développement de F (4, k); et si l’on change L et# en x et.y, on obtient

LF\ 2F\ x? n TT ja 2),F(r,7) =K(o,0)-(T.) Lee (SE x d'Fnir dx 0 dx

+(—) e FA RW ec dy Fe ile. RE à

A 2 0 Li HAE \ tt ù I À

Ss EE |

D ET ee dit Ka,

lg, ér.

Dans toutes les dérivées paruelles de F {x, y) on doit

remplacer x et y par o, excepté dans les termes du reste, où ils doivent être remplacés par 8x, 0y. Si ce reste tend vers zéro quand 2 augmente, F (x, y) peut se développer en série indéfinie suivant les puissances de x et y. On a ainsi la formule de Maclaurin étendue aux fonctions de deux variables ; et on l’étendrait semblablement aux fonctions d’un nombre quelconque de variables.

FLE Les deux formules (x) et (2) peuvent être écrites comme il suit, &,,,...,4, tendant vers zéro avec et k :

Ent

dy"

dr"! J01:2...(R—:)

Des maxima et minima des fonctions d’une seule variable.

294. On dit qu'une fonction F (x) prend une valeur maximum pour la valeur x, de x, lorsque x croissant ou décroissant à partir de x, dans un intervalle déterminé, quelque petit qu'il soit, la fonction F (x) est toujours moindre que F (x, ). La valeur de la fonction est minimum lorsque, dans les mêmes circonstances, F (x) est toujours plus grand que F (x).

Il résulte de là que, pour que x, donne un maximum ou un minimum pour F (x), il est nécessaire et suflisant que F (xo + ) — F (xs) soit constamment négatif ou constamment positif, quel que soit le signe de 2, pourvu que sa valeur soit suflisamment petite. Il n’y a de règles générales, pour s’en assurer, que quand F’(x) est continu dans le voisinage de x, , et c’est le seul cas que nous examinerons.

On aura alors

Fit +A)—F(x) =AF {x +02).

Lorsque À tend vers zéro, F’(x,+0h) tend vers F/(x); et si cette dernière valeur n’était pas nulle, le second membre changerait de signe avec 2: la différence l'(x5+h)—F(x) ne serait donc pas de signe constant, quel que fût le signe de’, et par conséquent F (x) ne serait ni maximum ni minimum, pour x — X,. Une condition commune au maximum et au minimum est donc F’(x,)= 0, et c’est seulement parmi les racines réelles de l'équation F’{x) = 0 qu'il faut chercher les valeurs de x propres à rendre F{x) maximum ou minimum. La valeur x, étant ainsi choisie,

on aura

F(x, +A)—EF{(x) = Le F"(r, +0).

La limite de F”(x,+0h) est F/ (xs) lorsque À tend vers zéro; et si F” (xs) n’est pas nul, il est évident que pour toutes les valeurs de À positives ou négatives, comprises dans des limites suflisamment petites, le second membre et, par suite, la différence F(x;+h)—F(x,) conservent toujours lemêmesigne.La valeur F (x, )est donc maximum ouminimum. Elle est maximum lorsque l’on a F/{x,) <o, et minimum si F’{(x,) > 0. Mais si par hasard on à EF” (x) — 0, on ne peut plus rien conclure, et il faut mettrela différence sous une autre forme. On pourra éerire dans ce cas

5 (ar +04),

et comme * change de signe avec À, on voit que si F”(x4) n'est pas nul , la différence changerait de signe avec L; il n’y aurait donc ni maximum ni minimum.

Mais si F”{(x;)—=0o,ona

ee RS FX ô ; ES EM (TS

et il est clair que si l'on a F'"{x,) 0, la différence est constamment négative, et F(x,) sera maximum; tandis que si lon a F'"(x;) > 0, elle sera constamment posi= tive, et F (x,) sera minimum.

Les mêmes raisonnements étant continués jusqu'à ce que lon obtienne une dérivée qui ne devienne pas nulle pour x —%,, On arrive à cette conclusion générale, que, pour que x, rende maximum ou minimum une fonction dont les dérivées sont continues, il faut que cette va=

leur de x annule un nombre impair de dérivées consécutives, à partir de la première; cet lorsque cette condition est remplie, on a un maximum si la dérivée suivante est rendue négative par cette valeur de x, et un minimum si elle est positive.

La recherche des maxima et minima est ainsi ramenée à la détermination des dérivées d’une fonction d’une seule variable, et des racines réelles d’une équation à une inconnue.

Si cette fonction n'est pas donnée d’une manière explicite, on formera ses dérivées par les règles connues, puis on appliquera la théorie qui vient d’être exposée, et qui est indépendante des moyens à employer pour former ces dérivées. Nous allons montrer quelle est, dans ce cas, la marche du calcul.

225. Cas des fonctions implicites. — Considérons une fonction liée à mm — 1 variables par m — 1 équations données : soient, pour fixer les idées , les trois équations

F(x, 7, 7" u)—0, Fi(x,y,2,u)= 0) F,(x, 7, 33 u)—=0,

uw étant la fonction dont il faut trouver le maximum ou le minimum.

En les différentiant, on trouve

dE dE dy dF dz dF du

dx dy dx dz dx du dc j dr, dE, dv dE, #z dE, du

(1) D ER dx dy dx dz «dx du dx

dE, dE, dy dF, dz dE, du

—— = + — + -, -——0; dx dy dx dz- dx du dx , à Na dy "da au moyen de ces équations, on éliminera SL la va- LU L

leur de? = qu on en tirera, devra ensuite être égalée à zéro;

. du 4 ou, plus simplement, on remplacera 7 Par zéro dans ces

, . ; M dy. dz | équations , puis on éliminera ne da entre les équations

résultantes, qui sont

dr dE dy dF dz

dx an dy dx di da — ar, dE, dy dE, de

dx dy dx ds dx:

dF;.:.dF; dy « .dE; ds

dx dy dx dz dx

et dy. dz : : : bo Eliminant — et —; on obtiendra une équation qui, jointe DE EN À

aux trois autres F—0, F, — 0, F, — 0, déterminera LUE AT EE

On différentiera de nouveau les équations (1) et l’on . du , 4:

obtiendra la valeur de —; on y substituera les valeurs HA “

trouvées de x, y, z, u, et l’on reconnaïîtra au signe dé cette expression, s’il y a maximum ou minimum. Si l’on

. L ,® DIR lé La avait — 0, On chercherait les dérivées suivantes de x (T7

par rapport à x, et l’on y appliquerait la théorie précé® dente.

équations (2), on peut

se servir de la méthode des multiplicateurs. Pour cela on multipliera les deux dernières par des facteurs indéter= minés À, ., et on les ajoutera à la première; puis on égas

a dz lera à zéro les coefficients de =

et le terme indépen:

EEE

(exe

dant : ce qui conduit aux trois équations

dE dE As RATS AM Tnt JEU AT, Abe dar Éd dE ,dF RE dz ‘ dz hi ER : “

d'où l’on éliminera À et u; ce qui conduira, comme on le sait par les théories de l’algèbre, à la même équation que

Me ne de dy dz 242 si l’on avait éliminé autrement > Ce procédé de cal- ZX (ATX

cul a souvent des avantages sur l’autre.

227. Considérons maintenant une fonction de m variables, liées par m — 1 équations : ce cas renferme le précédent, qui s’en déduit en supposant que la fonction se réduise à l’une des variables. Soient, par exemple, les trois équations

0, F,(z,7,z,u)=0,.. F,(r,y,zau)=0o,

et sôit proposé de trouver le maximum de la fonction f(x, y; 3, u). Dans ce cas aux équations (1), dans les-

| du Re 254: ‘4 à ; :

quelles —- ne serait plus zéro, on joindrait la suivante : ; dr 4

df # df dy, df ds df du

dx dy dr didx dudr ‘is

dy ::-ds du [I

dx dx dx

et de ces quatre équations lon éliminerait en résulterait une équation entre x, y, z, u; qui, Jointe aux équations données, déterminerait ces quatre quantités. On chercherait ensuite la dérivée seconde def(x,y,z,u)

PA dz du

dr dx?” de

ront faciles à trouver au moyen des troïs équations (x);

et l’on reconnaïtrait, au signe de cette seconde dérivée,

si la fonction f (x, y, z, u) est minimum ou maximum. On peut remarquer que les équations entre lesquelles

dy dz du

on a à éliminer RSR DTE seraient les mêmes si l’on avait CAS D € 15 #3

à chercher le maximum de l’une des fonctions F, F,, EF; les deux autres étant égales à zéro, ainsi que f.

par rapport à x; elle renfermerait —=

’ qui se-

Des maxima et minima des fonctions de plusieurs variables.

228. On dit qu'une fonction F (x, y) des deux varia® bles indépendantes x, y acquiert une valeur maximum, pour certaines valeurs, Xo, Jo, de x et y, lorsqu’en chan: geant ces variables en x5 + h, yo + k, k et À étant des quantités arbitraires comprises entre o et des limites po= silives ou négatives aussi petites que l’on voudra, la fonc= tion est constamment moindre que pour les valeurs x5, Yo. Si, au contraire, elle était constamment plus grande, on dirait qu’elle est minimum pour ces mêmes valeurs.

D’après cela, la différence

F(z+h,y+k)—F(zx,r)

doit être constamment négative, quels que soient les va= leurs et les signes des quantités infiniment petites Let, si F (x,7) est maximum; et elle doit être constamment positive dans le cas du minimum. De sorte que ce sera un caractère commun au maximum et au minimum, qu “elle soit invariable de signe.

Nous ne EURE que le cas où la fonction et ses dérivées, jusqu’à l’ordre dont on aura besoin, sont continues. Les cas de discontinuité ne donnent pas lieu à des règles générales, et se discuteront suivant la question:

D’après une formule précédente, nous aurons, en désignant par &, a, des quantités infiniment petites,

IF \ dE ) Fey +n—r(an= (Te) h +- (+) #.

dy l 0 , , 2 Si a Ce sont différents de zéro, le signe du second ax [a

membre, lorsque À et k tendront vers zéro, finira par être constamment le même que celui de

Or cetie expression change de signe si l’on change et k de signes, sans changer leur grandeur; donc F (x, y) ne serait ni maximum ni minimum, et, par conséquent, pour qu'elle puisse être l’un ou l’autre, il est indispensable que l'expression précédente soit nulle; comme A et k sont indépendants l’un de l’autre, on devra avoir

A SES dE de bé dy

Si ces conditions sont remplies, on aura

PGæhr+ ren (TE 2 )- 5 PF ŒE p2 MEME 2) STD Eat 2e Se dxdy ; dy? 129

et si les trois dérivées du second ordre ne sont pas toutes rendues nulles par les valeurs x, y, le signe du second

membre, et par suite de l'accroissement, finira par être le même que celui du trinôme

d?F }° d°'F dER 42 ss Dh HE 2.

dx! 2 dxdy axes

Il faut que cette expression soit constamment négalive ,

318 LIVRE Il.

quels que soient k et k, pour que F (x, y) soit maximum, et constamment positive pour qu'elle soit minimum. Si

ne. 0 : :

on la divise par —> ce qui n'en change pas le signe, on.

dif fR\? 0 diF 0 ANNEE a) ar VOIS

et pour que ce trinôme ne change pas de signe, quel que

obtient

. k L2 LJ L] L] | L2 soit > et ne soit jamais nul, il faut que l’on ait è

dE ARS PP dxdy de dx?”

d’'F * d'F A dy?

condition qui entraîne que soient de même

signe.

Si elle est satisfaite par les valeurs de x et y ürées des deux équations

dE dE — == 0 "0 dx ; dy 4 AT PRES .d'F d'É n la fonction E° (x, y) sera maximum si —— et —— sont néa dy?

gatifs, et minimum s'ils sont positifs.

Si les trois dérivées du second ordre étaient nulles, il faudrait que toutes celles du troisième le fussent, et que le signe d’un polynôme du quatrième degré par rapport À h compliquées. On continuerait semblablement si les déri® vées du quatrième ordre étaient encore toutes nulles:

a — füt constant : ce qui conduirait à des conditions plus

999.- Ces raisonnements s'étendent facilement à une fonction d’un nombre quelconque de variables indépendantes ; seulement les conditions se compliquent de plus

& < io)

en plus. Dans le cas de trois variables par exemple, on aura les trois équations

dF ne LA ES : dE,

D 7 & et il faudra que le polynôme

| d° FL Æ 56 h? + Là AN pu {2 dx’ dy? dz?

d’F dE d?F D —— hk cm El D ‘is dxdy EDS dde me dydz ée

soit constamment de même signe, quels que soient 2, K, L. Pour exprimer cette condition, on divisera d’abord par

hk?: et si l’on ER ue on aura un polyné ) Mo Pr; — 9: polynôme

de la forme

: Ag? + Bp+ 2Cpq +2Dq+2Ep +EF.

En le considérant relativement à la variable 9 seulement, ilfaudra, pour qu'il ne change pas de signe, que l’on ait, quel que soit p,

(C?— AB) p°+ 2 (CD — AE )p + D'— AF< 0.

On posera sans difficulté la condition pour que ce poly-

nôme soit de même signe quel que soit p, et l’on y ajou- (era, pour qu'il soit négatif,