C'— AB

De même que le cas de deux indéterminées p, q se ramène

à ure seule, on ramènerait celui de trois à deux, et ainsi de suite.

230. Cas d'une fonction implicite. — Proposons-nous detrouver le maximum d’une fonction f(x, y, z) en sup-

posant les variables x, y, z liées par une équation FX Y, 2) 0,

en vertu de laquelle z est une fonction implicite des deux variables indépendantes x, y.

La théorie précédente exige que les dérivées partielles

de f(x, y, z) par rapport à x et y soient nulles séparé= ment ; ce qui donne

LR NT af DE ax 1deNdr dy ‘ dz dy

y . dz dz équations dans lesquelles on mettra pour — ; — leurs va: dx dy

leurs tirées des deux suivantes :

dr dF dz a dr dF dz

dx dz dx”

dy de

On aura ainsi deux équations entre x,Y, Z, qui, jointes à F(x,y,z) = 0, détermineront x, y, z. On formera en suite les dérivées partielles du second ordre de f(x, y, zk elles dépendront de celles de z, qui seront déterminées par les règles de la différentiation des fonctions implicites à deux variables. |

En général, quel que soit le nombre des variables qui entrent dans la fonction, et le nombre des équations qui les lient, il suflira de reconnaître les variables indépendantes, et d’égaler à zéro les dérivées partielles de la fonction par rapport à ces variables. Les équations quiven résulteront, jointes aux équations données, seront toujours en même nombre que les variables, et les détermineront. On formera ensuite facilement les dérivées partielles successives de la fonction par rapport aux variables indépendantes, et on les soumettra aux épreuves établies dans la théorie précédente.

On peut donner une autre forme au calcul du maximuüum où du minimum d'une fonction de m+n variables, liées par # équations, ce qui est le cas le plus Déni

IL y à alors m variables indépendantes, et l’on devra égaler à zéro les dérivées partieiles de la fonction par rapport à chacune d'elles; ce qui revient à dire qu'on égalera à zéro la différentielle totale de cette fonction, quelles que soient les valeurs des différentielles indépendantes. Et, pour cela, on tirera des équations données les valeurs des diflérentielles des variables dépendantes en fonction de celles des variables indépendantes; on les substituera dans la différentielle totale de la fonction proposée, puis on égalera à zéro les coeflicients de toutes les différentielles qui y seront restées.

Soit f la fonction des m + n variables x, y, z, u, etc., qui sont liées par les 7 équations

ED MDN AN = 0...

on aura les n + 1 équations suivantes

d d LP pe dé Es bT 220; dx dy dz dL dl, ,dL, sk

à 2 TOR per A rt QE ES AE dM,., dM,, ,dM, san LOTS ne ES aN , ANA MAN 5 ENS AV —— AZ TNT TT BE

et l’on doit tirer des » dernières les valeurs des différentielles des z variables dépendantes, les reporter dans la . première, et égaler à zéro les coeflicients des m différen- L 21

tielles arbitraires qui y resteront. En d’autres termes , il faut éliminer 2 différentielles de ces 7 +1 équations, et égaler à zéro les coeflicients de celles qui subsisteront dans l’équation finale.

Pour faire cette élimination, on multipliera les 7 dernières équations par des facteurs indéterminés, À, y, v,ete., on les ajoutera à la première, et l’on égalera à zéro les coefficients des 7 différentielles des variables dépendantes, ee qui déterminera À, p, y, etc., puis on égalera à zéro les coeflicients des m autres variables; ce qui revient'évidemment à annuler les coeflicients des m + n difflérentelles, après l'addition des équations, et à éliminer À, y, v, etc., de ses m+ n équations; ce qui conduira à m équations entre x, y, Z, etC., qui, jointes aux 7 équaüons données, déterminent les valeurs de ces variables” qui peuvent donner les maxima et minima de la fonction proposée. On les distinguera ensuite au moyen des se= condes dérivées partielles de la fonction, comme nous l’a= vons fait connaître ci-dessus.

On peut remarquer que le calcul serait le même si l’on s'était proposé de trouver le maximum ou le minimum absolu de f+1L+uM+..., en ayant égard ensuite aux équations L —0o,M— 0.

251. Remarque. — Quelquefois les variables qui entrent dans l’expression dont on cherche le maximum ou le minimum, au lieu d’être liées par des équations, sont assujet” ties à des inégalités. On ne peut en tenir compte de la même manière que des équations , et l’on agit suivant les cas.

Quelquefois un changement de variables dispense de tenir compte des inégalités; nous en citerons un exemple’

Supposons qu’on demande le maximum ou le mini= mum de la distance d’un point donné B (/ig. 84), aux dif= férents points d'un cercle dont le centre est À et le rayon

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 323 R ; et que l’on exprime la distance BM au moyen de l’abscisse MP du point M du cercle; on aura, en faisant AB—= a, BM= a+ R°— 2ax.

Si l’on ne remarquait pas que x est assujetti à la condition d'être compris entre — R et + R, et qu'on appliquât la règle ordinaire, on écrirait 2 & — 0 ; ce qui ferait penser que le problème est impossible. Une discussion bien simple montre qu’en faisant passer x de —R à +R, le maximum a lieu pour x——ñ@ et le minimum pour x = + R. Mais dans d’autres cas ce pourrait être trèsdifficile.

Si l'on posait x — R coso, o serait l'angle MAB, etil ny aurait plus aucune condition d’inégalité à exprimer. On aurait alors

BW = a + R'—24ak cos», et la règle ordinaire donnerait sing — o, d’où l’on tire-

rat® = 0, = 7, qui donnent le minimum et le maxi-

mum de BM.

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