THÉORIE DES ASYMPTOTES
235. On appelle asymptote d’une branche de courbe infinie une droite telle, que les points de cette courbe s'en approchent indéfiniment sans jamais la rencontrer; à mesure qu'ils s’éloignent indéfiniment sur la branche que l’on considère.
Toute asymptote non parallèle à l’axe des y aura une équation de la forme |
= kx + I,
k et Z ayant des valeurs finies.
La branche de courbe aura pour équation
Y=z+I+ NV,
V étant une foncuüon connue ou inconnue de x, maïs qui tend vers zéro à mesure que x augmente. On en déduit
1. PUB : pe ROUES se k= lim. w. [= lim. (y — kx). Réciproquement, des va
leurs de 4 et Z ainsi déterminées pour une branche réelle de courbe correspondront nécessairement à une asymp= tote de cette branche, puisque y — kx — L a pour limite zéro, pour les points de cette branche dont l’x croît indéfiniment.
Les asymptotes parallèles à l’axe des x correspondront aux valeurs de k égales à zéro. Pour trouver les asympiotes parallèles à l’axe des y, on considérerait l'équation
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 333 x = kly + l'et l’on ne s’occuperait que des valeurs de k! égales à zéro.
236. Appliquons ces considérations à une courbe dont l'équation peut se partager en plusieurs parties homogènes par rapport à x, y, et peut être mise, par consé-
quent, sous la forme suivante, où nous supposerons les exposants de x décroissants :
enr (2) + a" f (2) Lu ME De æ æ
Soit . = p, d'oùy = px; il faudra d’abord trouver la
limite de p pour x = .
La substitution donne
2"F(p)+zxf(p)+...—=o, d'où
Mini (pl, 40;
ann et à mesure que x augmente, F (p) s'approche de zéro :
donc les valeurs limites de p, c’est-à-dire les valeurs de k, sont des racines réelles de l'équation
Fe RU}E=10; Il reste à trouver la valeur de Z correspondante à une valeur de k; pour cela on posera y — kx = t, et l’on cher-
chera la limite de 4.
L’équation de la courbe devient, par cette substitution,
t emp(r+t)+es(e+t) +...=0; T TL
mais puisque F (4) — 0, on a
Fs+t)=2r (ao) TL TL D
0 étant compris entre o et + x; on a done
À l ee (i+oi)+æf(i+s)+ =
ou :
AE t I a tF k = E Fe FE FPE) Sim—=n<+1,x— donnera pour limite de #, cest à-dire pour valeur de /,
Sim>n<+i,ona LD:
Sim<n+1,tna pas de limite, et il n'y a pas d’asymptote pour cette valeur de *. Ainsi, en général, l’é=
quation de l’asymptote sera y — x 5 4e () se
rapportant aux termes de degré #2 — 1, et devenant nulle sin<Cm—i:iln ya pas d'asymptote si n > m—r.
Si n << m—1, l'équation de l’asymptote est de la forme y — kx — 0.
Si, dans le cas de 72 — m —1, la valeur de k tirée de F (k) — 0 satisfaisait aux équations F'(k)=o, f(k) —=0; l’équation de lasympiote deviendrait indéterminée ; et l'on ne pourrait en tirer l'équation cherchée, parce que le terme en x”? devient du même ordre que les deux pre miers, et ne peut plus être négligé.
Dans ce cas, l’équation qui détermine la limite de #se mettrait sous celte forme :
Ë : Ë 7 (: + 0 5) EL on 7 A ce 8, =) T 103
an? t?
La + ao (4+2)+.=0
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 339 2" 19 () étant le troisième terme de l'équation pro- =
posée. Divisant par x”? et passant à la limite, / sera déterminé par l'équation
BE O Lypr(a)+ go.
On agirait semblablement si ces trois nouvelles fonctions devenaient nulles, pour cette valeur particulière
de k.
Sim <Tm—1,etF/(k) — 0, on n’a plus nécessairement / = o.
231. Si la courbe est rapportée à des coordonnées polaires, on connaitra toutes les directions qui peuvent donner des asymptotes, en cherchant toutes les valeurs de 8 qui donnent à r une valeur infinie.
Soit &« une de ces valeurs de 0, on cherchera la limite de r sin(0 — «) qui est l'expression de la perpendiculaire abaïssée d’un point quelconque de la courbe sur la droite menée par le pôle sous l’angle « avec l’axe. Cette limite sera la distance de cette droite à l’asymptote, et le signe dont elle sera affectée fera connaître de quel côté elle se trouve. Si Ie produit r sin (6 — x) croit indéfiniment, 1l n y a pas d'asymptote dans cette direction.
On trouvera le mème résultat en cherchant la limite de r (9— x) ou celle de r sin (9 — x), puisque la limite de à. See : = æ) est l’unité.
Soit pour exemple l'équation générale F (9)7" + (0) rm + AMIE, + An oO,
À, A:,..., À, étant des fonctions quelconques de 0.
L'équation F (0) = o fera connaitre toutes les directions possibles des asymptotes. Soit &« une des racines réelles de cette équation et Ü = & + d; puisque F («) = 0, on aura F (+0) —0#"{(2+00), et l'équation de la courbe devient alors, en divisant par 77°,
704" (a + 00) Ye + CN RER
Lorsque r devient infini, il ne reste plus que les deux premiers termes , et l'on trouve
lim.r(0— x) — mr 0 Eee
F'(x) Si l’on avait f («) — 0, F'(«) — 0, on agirait comme dans le cas précédent.
Exemples. — 1°. Soit proposé de trouver les asympcotes de la courbe ayant pour équation | ay? + bxy + cx? + dy + ex +<f =; on a, dans ce cas, |
F(4)=ak +bk+e, F(X) — dk +e.
b “re. b? ses . . , .
k — — bEVb— fac » ce qui exclut 1 ellipse.
L’équation de ces asymptotes devient z dk +e 7 2ak + b
Le dernier terme devient infini dans le cas de la para=
bole, et, par conséquent, l'hyperbole est la seule courbe du second degré qui ait des asymptotes.
, équation de la logarithmique , qui ne rentre pas dans la classe générale considérée ci-dessus, parce que €” n'est pas d’un degré fini par rapport à x.
nx
2°. Soit maintenant y — ae
On cherchera toujours la limite de et ensuite celle de
Y —Kx.
On trouve immédiatement 4 — 0; ensuite la limite dey est zéro, et correspond aux x négatifs. L’asymptote est donc l'axe des x, et dans la direction seule des x négatifs.
30, Dans le cas de la courbe, appelée folium de Des-
cartes, et dont l'équation est + x — Saxy = 0, on trouvera une asymptote ayant pour équation
4°. L'équation y*= cos T conduit à k—0,/—+ r. La bA
courbe a donc pour asymptotes les deux droites
ne ES : sin æ s ; De, L équation y — a —— représente une courbe qui
a l'axe des x pour asymptote, et qui a cela de remarquable, qu’elle passe alternativement d’un côté et de Vautre de son asymptote, jusqu'à l'infini.
* à : Phil 6°: L'équation J=asin- donnera encore y ==0 pour ré
l'équation d'une asymptote.
Elle offre en outre une particularité remarquable : elle s'approche indéfiniment de l’axe des y dans la partie comprise entre y = — a, y — + &. C’est donc là un véritable asymptotisme, puisque la longueur de la courbe augmente sans limite, en se rapprochant indéfiniment d’une droite fixe.
Cette courbe ne diffère pas de celle qu’on obtiendrait en enveloppant sur un cylindre une hyperbole équilatère
338 : LIVRE II. | | dont une asymptote serait parallèle au plan de la base, et projetant la courbe résultante sur un certain plan passant par l’axe du cylindre.
7°. Soit maintenant l’équation polaire d’une hyperbole, par rapport à un de ses foyers,
(æa—ecos0)r=0, c—Va + b?;
on trouvera
& É COSa—=—» Jim, 79 — 6.
Les deux asymptotes se trouveront ainsi déterminées. Soit encore la spirale hyperbolique (0—w)r= a; on trouvera u =D, CIN. Yo =
Des asymptotes considérées comme limites des tangéentes.
