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d'ou l’on tire

manctEF (2) + natif (:) +...

(2) ay ES RP RAT MT, AMI Pas NIMES ur & dx æ ax" F’ 15 sr LP À ETS e x X

. . . r . Eh Or, si l’on fait croître x indéfiniment, F (:) tendra vers FA

zéro, et | équation (2) donnera

{3) lim. À = li.

Ainsi d'abord , lorsqu'une branche de courbe à une asymptote, sa direction est la limite de celles des tangentes à cette même branche.

Cherchons maintenant la limite du point où la tangente rencontre laxe des y, et dont l’ordonnée est

L’équation (2) donne

(4) p-2Ÿ — # — à x Ë Re (2) ET

340 LIVRE Il.

Supposons d’abord 7 —m—1 ou n<m—1+1, auquel cas la branche de courbe aura une asymptote; on aura

alors . / 0 F mer (2) + (m1) /(2)+ > Y æ 2 F’ (2) HR (2) UE "# TL Ci Or cette expression peut être simplifiée au moyen de Péquation (1). En effet, en divisant cette dernière par x"!

et supposant d'abord 7 — m— 1, on obtient, en faisant eroître x indéfiniment,

lim. L+F ) +#() | o.

L’équation (5) donne ainsi “À % — f (2) + ,,,

lim. (22) = fine" d £ m(t)+ir (te.

et, par suite, É dy Ro Se CAR ASE 1m C 4) F(4)?

donc la tangente coupe l'axe des y en un point dont la limite coïncide avec celui où ce même axe est coupé par l’asymptote.

Si l’on avait 7 <[m —1, la fonction f n’existerait pas, et l’on trouverait

; d im. (> 2%) 07

L'asymptote et la limite des tangentes passeraient alors par l’origine.

Supposons enfin 7 >>m — 1, alors la branche de courbe infinie n'a pas d'asymptote. Faisons 7 — m — 1 + d; l’équation (1), divisée.par x”, donnera

MÉRTIOPTEIE.

ét, en introduisant cette condition dans l’équation (4), dy : : à

on trouvera Que — X 7 deviendra infini avec x, et, ax

par conséquent, qu'il n’y a pas de limite pour le point de rencontre de la tangente avec l’axe des y.

On arrivera donc, dans tous les cas, au même résultat, soit en cherchant l’asymptote d’une branche infinie, soit en cherchant la limite des tangentes.

Mais il faut bien remarquer que nous entendons ic1, par limite des tangentes, la droite qui, menée sous l’inclinaison limite, coupe l’un des axes, celui des y par exemple, au point limite où cet axe est coupé par la tangente variable. Ce ne serait pas déterminer une droite, que de dire simplement qu’elle est Ja limite d’une droite mobile qui ne reste pas toujours parallèle à elle-même. En effet, cette droite est située de la même manière par rapport à des droites parallèles entre elles, quoiqu'elle les coupe en des points qui peuvent être fort éloignés les uns des autres; et si elle s'approche indéfiniment de l’une de ces parallèles, elle s'approche également des autres, à parür des points respectifs où elle les coupe.

La démonstration que nous venons de donner se déduit si simplement de la forme de l'équation (1) pour laquelle nous avions calculé l'équation générale des asymptotes, que nous avons cru ne pas devoir l'omettre. Mais précisément parce qu’elle est fondée sur cette forme, elle n’a pas toute la généralité qu’on pourrait désirer, et nous

allons traiter la question, indépendamment de toute forme particulière d'équation .

239. Une asymptote est, en général, la limite des tangentes. Considérons une branche infinie de courbe quelconque ayant une asymptote AX (/ig. 85); cette courbe n'étant pas donnée par une équation , il est nécessaire d'en connaître certaines conditions géométriques bien déterminées, sur lesquelles le raisonnement puisse se fonder. Nous admettrons, comme seule définition de cette courbe, qu'elle est telle, que depuis un certain point B jusqu'à l'infini, ses points aillent constamment en s’approchant de AX, et que l’inclinaison de sa tangente

sur AX varie toujours dans le même sens. IL.est d'abord |

évident que depuis le point B la courbeiest convexe vers AX : car la tangente en un point quelconque rencontrera AX au delà de son point de contact, puisque les distances à AX vont en diminuant de ce côté; si done la courbe était concave vers AX, et, par suite, comprise entre AX et sa tangenie, elle couperait AX, ce qui est contre l’hypothèse.

Cela posé, menons une droite‘fixe quelconque AY; prenons sur cette droite un point P plus rapproché de AX que ne l’est le point B,et menons la droite indéfinie PU parallèle à AX. Elle coupera nécessairement la courbe en un seul point M, qui sera d'autant plus éloigné de AY que AP sera plus petit.

Si maintenant on joint le point P successivement aux différents points de la courbe situés au delà de M, cette droite coupera nécessairement AX, et, par conséquent, rencontrerà auparavani la courbe en un second point: Cette sécante, tournant continuellement autour de P, deviendra tangente dans une position unique PQ, et le

point de contact N sera au delà de M, Or les tangentes aux

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIÉLLES, E1C. 343 points situés au delà de N couperont nécessairement PQ entre Net Q; et AX au delà de Q ; elles couperont donc AY entre À et P; et comme PA peut être supposé aussi petit qu'on voudra, il s'ensuit que les tangentes à la courbe couperont À Y en des points qui iront constamment en Slapprochant de À, et que leur distance à ce point a pour limite zéro. Comme d’ailleurs l’angle qu'elles font avec AX a zéro pour limite, on peut énoncer la proposition suivante, qu'il faut entendre avec les restrictions indiquées ci- Au: \

LU une branche infinie a une asymptote, les tangentes à celte branche coupent une droite fixe non parallèle à l'asymptote, en des points qui ont une limite ä mesure que le point de contact s'éloigne do ent ; leur direction a de méme une limite, et silon mène par le point limite une droite dans cette dernière direction,

. elle coïncidera avec l’'asymptote.

240. Si les conditions géométriques que nous avons admises n’existaient pas, il serait possible que la branche decourbe eût une asymptote, et que les tangentes n’eussent pas de limite.

En effet, si l'inclinaison de la courbe ne variait pas toujours dans le même sens, les tangentes aux points situés au delà de N pourraient ne pas couper PQ entre P etQ, et, par suite, AY entre P et À ; rien ne prouverait alors que leur point de rencontre avec AY aurait une limite, et il est même facile de trouver des cas où cela n’a pas lieu.

Soit, par exemple, léquation

a + sin æ

Sig x" ?

mrétant positif et & >> 1. La courbe est tout entière au=

a PARTS

dessus de l’axe des x ; de plus, elle s’en approche indéfiniment,et, par conséquent , cet axe en est une asymptote. Cherchons maintenant le point où la tangente coupe l’axe dy Se ay a des y. Son ordonnée y — x — a la même limite que — x = J T dx { dx”

puisque l’ordonnée y du point de contact tend vers zéro. Mais on a

dy a m (a + sin x) D = a TMCOS TL TASER dx a"

expression dont le dernier terme tend vers zéro. Il reste done à trouver la limite de x!" cos x. Or cette limite est zéro lorsque l’on à m°>1r, et alors la tangente a une limite,” qui se confond avec l'asymptote. Mais si l’on a

IR A4 à COUNTER d

re sera indéterminé; il pourra avoir toutes les valeurs

comprises entre deux limites finies dans le premier cas, et infinies dans le second. D’où l’on voit qu’une branche de courbe peut avoir une asymptote, sans qu'il existe une limité pour ses tangentes.

Il est bon de remarquer que la tangente, considérée à partir de son point de contact, tendrait indéfiuiment vers:

dy , L . q l’axe des x, parce que y et — tendent vers zéro; mais sion dx

la prolonge jusqu’à l’axe des y, elle s’écarte de l’axe des x, de quantités finies, ou même croissant indéfiniment, comme nous venons de le démontrer. Or, dans ce cas, on dit qu’une droite n’a pas de limite, parce que c’est toujours à l’origine et aux axes fixes qu'on la rapporte.