Toute limite des tangentes est asymptote

Cette réciproque de la proposition précédente peut être. démontrée comme il suit.

Soit X'X (fig. 86) une droite vers laquelle convergent les tangentes à une branche de courbe infinie; et par là nous entendons que ces tangentes font avec X/X un angle qui tend vers zéro à mesure que les points de contact s’éloignent indéfiniment ; et que si par un point À pris sur X'X, on mène un axe fixe AY, il est coupé par la tangente variable en un point dont la limite est A.

Considérons maintenant une tangente quelconque PQ: ilest admis qu’à partir d’une certaine position du point de contact jusqu'à l'infini, le point P va en se rapprochant indéfiniment de À , et que l’angle AQP tend vers zéro, ces deux quantités conservant leurs signes, .ou en changeant d'une manière quelconque. Or il est évident que si le point de contact M est toujours situé dans la partie PQ de la tangente, quel que soit l’angle des axes dans lequel elle se trouve, sa distance MT à X’X est moindre que PA, et, par conséquent, il s'approche indéfiniment de X/X, puisque la limite de PA est zéro par hypothèse. Donc, dans ce cas , la ligne X’X est une asymptote.

Ce cas est celui qui aura lieu, par exemple, lorsqu’à partir d'une certaine position de la tangente, le point Q ira toujours en s'éloignant, et le point P en se rapprochant de A ; car les intersections successives des tangentes se feront toujours dans l'angle YAX , et, par suite, les limites de ces points , ou les points même de la courbe, y seront renfermés.

Il reste donc à considérer le cas où le point de contact serait en dehors de la partie PQ. Or nous allons démontirer que la tangente ne pourrait alors avoir pour limite X°X, à moins que les points de cette branche de courbe ne s approchent indéfiniment de cette même ligne X’X, qui sera par conséquent encore une asymptote.

Concevons, en effet, une branche de courbe infinie dont Pordonnée ne tende pas vers zéro, et dont la tangente

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mitée : dans ce dernier cas, elle pourra tendre vers unes valeur déterminée; elle pourra mème osciller entre des limites déterminées, de telle sorte que, quelque grand qué soit x, la courbe reste, on du moïns revienne, à cer” tains intervalles, au-dessus d’une parallèle située à une distance finie de AX. Or nous allons démontrer que, dans. ces différentes hypothèses, AX ne peut être la limite des tangentes. |

En eflet, supposons d’abord que l’ordonnée croisse in