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définiment, et menons à AX une parallèle CV, à une dis=« 4

tance AC aussi grande que l’on voudra de AX ; cette pa

rallèle rencontrera nécessairement la courbe en un certain

point M, et la distance CM pourra dépasser toute gran

deur donnée. Si maïntenant par le point GC et un point M

de la courbe, situé au-dessus de CV à une distance aussim

petite qu'on voudra de M, on fait passer une ligne droite; . : 5 . l e , , on sait que, quelque petit que soit l’angle qu'elle fera

Re nn

avec AX., elle finira par rencontrer la courbe en un se=«

cond point au delà de MM, puisque l'angle de la tangente

à la courbe avec AX tend vers zéro. Donc, en faisant

tourner ceite droite dans le même sens, elle finira par devenir tangente en un point situé au delà de M. Done,

en prenant des points assez éloignés sur la courbe, latan=

gente coupera AY en des points C situés à des distances

aussi grandes qu'on voudra de À. Donc enfin les tangentes" n'ont pas pour limite AX.

Supposons maintenant que lordonnée ne croïsse pas indéfiniment, et que les points de la courbe restent con“ stamment au-dessus d’une droite BU menée parallèlement à AX à une distance déterminée différente de zéro, owbien passent au-dessus et au-dessous de BU à des intervalles

quelconques. Considérons un point M de la courbe situé au-dessus de BU à une distance de AY plus grande qu’une quantité donnée quelconque, et menons, par ce point, MD parallèle à AX (fi3. 88). En raisonnant comme dans le cas précédent, nous démontrerions qu’il existe une tangente en un point situé sur la courbe, au delà de M, et rencontrant AY en D, et, par conséquent, au-dessus de B; d’où il suit que AX n'est pas la limite des tangentes.

Donc enfin AX ne serait pas la limite des tangentes si les points de la courbe étaient situés en dehors de la partie de la tangente comprise entre les deux axes, et qu’en même temps leur distance à AX ne tendit pas vers zéro. Mais si cette distance tend vers zéro, AX est asymptote. D’où il résulte enfin que, quelque part que soit situé le point de contact sur la tangente variable, si cette droite tend vers une limite, dans le sens précédemment défini, cette limite est une asymptote.

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