CHAPITRE VIT

DIFFÉRENTIELLES ET DÉRIVÉES DE L’ARC, DE L’AIRE, ET DE L'INCLINAISON D'UNE COURBE PLANE. USAGE DES DÉRIVÉES POUR RECONNAITRE LA CONCAVITÉ OU LA CONVEXITÉ.

242. Désignons par s la longueur de larc, prise à. parür d’un certain point de la courbe : nous ävons vu que son accroissement infiniment petit As ne pouvait diflérer que d’un infiniment petit du second ordre, de la partie de la tangente terminée à l’ordonnée extrème, c’est-à-dire

dy? Er A dy?

de A x 1 He Donc la limité de =° est ie + dx? Ax

dri ds dy ? ts 2 2 mn/i re ds = dx? + dy?.

Dans un système de coordonnées polaires on aura

et l’on a

na. r? AE — 2 2 s 2 Ê = RE ou ds = Vr°d0? + ar?

243. L’aire comprise entre deux ordonnées, l’axe des Z et l'arc d’une courbe, croît d’une quantité comprise entre: deux parallélogrammes dont la limite du rapport est l’unité, à mesure que A x tend vers zéro : on peut donc, comme nous l'avons déjà dit, prendre l’un quelconque des deux au lieu de l’accroïissement même de l'aire, sans altérer la limite du rapport à Ax. Si donc on désigné

2 Sp, ICE # LS

l’aire par À, on aura 1:51 re —=7ysint, ou dA— ydxsim06,

8 désignant l’angle des axes.

Dans un système de coordonnées polaires, les deux parallélogrammes seront remplacés par des secteurs semblables, et l’on trouvera

LOU - d'A + r?d0.

244. L'inclinaison + de la tangente sur l’axe de x est déterminée par l’équation

SRE d’où d'y do FA dx?

PORTE RE dy°?

I pe dx?