OÙ

PE ré dx?

? m4 è PE dy?

dx?

Cette valeur de do est ce que nous nommerons angle de contingence; il peut être pris pour A9, qui est celui des deux tangentes aux points dont les abscisses diffèrent de dx, sans que les limites des rapports soient altérées. Dans un système de coordonnées polaires, l'angle de deux tangentes consécutives, ou la différence infiniment petite de l’inclinaison + de la tangente sur l’axe fixe, est égal à l’angle des deux rayons vecteurs correspondants, plus l'accroissement de l’inclinaison de la tangente sur le

Re NN fi RE 7: | RER ) : 4

à hi ï

rayon qui passe au point de contact. On trouvera ainsi:

… dr? d?r TR Cros + res D TE à LT:

Concavité et convexité. |

245. On dit qu'une courbe est concave en un de ses points par rapport à une droite donnée, lorsque, à parür de ce point, ses deux branches commencent par être comprises dans l’angle aigu formé par la droite donnée-et la tangente à la courbe au point que l’on considère. Lors: que, au contraire, les deux branches commencent par être en dehors de cet angle, on dit que la courbe est con: vexe en ce point par rapport à la droite.

Nous allons faire connaître les caractères analytiques qui correspondent à ces deux circonstances, en suppo: sant qu'on ait pris la droite donnée pour axe des x. Dans le cas de la concavité, l’ordonnée orthogonale de la courbe doit être moindre en grandeur absolue que celle de la tan:# gente au point que l’on considère, pour les valeurs de“ infiniment voisines de celle qui correspond à ce point Ainsi l’ordonnée de la courbe sera plus petite que celle de la tangente lorsqu'elle sera positive, et plus grande lorsqu’elle sera négative. L’inverse aura lieu pour la con vexité. WE: à

Or, en désignant par x’, y' les coordonnées du point donné, et par À une quantité positive ou négative, qui peut devenir moindre que toute quantité donnée, on à pour les points de la courbe, S'SS

dy", *,dAts Redti dx’ — PAT

et pour la tangente au point EN Y') ’

dy"

Ptit

donc, si y’ est positive, la courbe sera concave si le terme

Lé Fr (a est négatif, et convexe s’il est positif. Or, dx?} x'+ 6h

si l’on n’a pas nr — — 0, le signe du terme en question

ÔME 4 - quel que soit le signe de X.

Les deux branches de la courbe commencent donc par être d’un même côté de la tangente ; ce qui montre que notre définition des tangentes renferme celle des anciens; et l'étude des points singuliers nous fera voir quelle est plus générale. Supposant donc que M

da?

soit pas nul, on voit que pour les points de la courbe de sont du côté des y positifs, la condition de concavité

sera le même que tarde = 2

rest #4 - Lo, et la condition de convexité est 5 Le Dar ee” X

ni) = . , A » 4 C’est l'inverse pour les points situés du côté des y négaüfs.

les deux branches de la courbe soient d’un même côté de

la tangente dans le ME du point que l’on considère, 1 LA

et c’est au signe it - qu'on reconnaîtra la concavité ou

YE F Ce CS 2 N ‘ la convexité. De même, si in = 0; il faudra qu'on aït CT

d'y! ons < Tr = 0, et ainsi de suite, ax