POINTS SINGULIERS

" Le “LUCE 246. Lorsque la concavité se change en convexité, T doit changer de signe et, ue COnÉeAReES passer par zéro ou l'infini; les points où s'opère ce che se nomment points d’inflexion.

É d'y ES 561 CE Mais il ne suffit pas que Ta SOit nul pour qu'il y ait

inflexion ; car il faut, pour qu'il change de signe, que = h

: d* ; ne soit pas nul, ou que . le soit en mème temps, et | ri

ESC à : UT 5 sut | ainsi de suite. De même, si __ est infini, il faudra s’as-

surer s’il change de signe.

Points multiples. — On appelle ainsi ceux où passent plusieurs branches de courbe, et où l’on peut mener, par conséquent, plusieurs tangentes. On peut les déter= miner par des règles très-simples pour toutes les courbes algébriques. Soit F (x, y) — o une équation algébrique et rationnelle; on en tirera

dE 3 dE dy dx. dydz

Or, cette équation devant être satisfaite par plusieurs valeurs de =; tandis que —-, —- n'en auraient qu'une dx dx’ dy |

QU dF seule, on devra avoir — — 0, Re L#

De — 0, conjointement ayec

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 353 F{x,rl=0, Si l’on trouve des solutions réelles com -

LA d 4 , munes à ces équations, les valeurs de seront données "4 1

par l'équation

EF : dE dy d°'F (#)

dx? É dxdy dx DE dYN AR

que l'on obtient en diflérentiant l'équation (1), et remdE dx «

Si trois branches passaient au même point, les cocfficients de cetie équation seraient encore nuls, ét l’on aurait recours à la troisième dérivée de l’équation ; et ainsi de suite, |

pl t it t A 5 a acant ensuite Ei —— Dar Zero.

p ä dy P

Les deux branches seraient tangentes si deux valeurs

de a étaient égales.

dx | o

Si l'équation était résolue par rapport à y et renfermait des radicaux à double signe, on reconnaîtrait les points multiples en cherchant les valeurs de x qui font dispa-

raitre un de ces radicaux de y, sans le faire disparaître

de Ds car en ces points deux branches de courbe se cou- C4

péront, et leurs tangentes seront différentes.

247. Points de rebroussement. — Si en un point mul- £ d 4 tiple deux valeurs de sont égales, et que les deux ax

branches s’arrêtent en ce point, on a un point de rebroussement. IL est du premier genre lorsque les deux branches sont de côtés différents de la tangente commune, et du second genre lorsqu'elles sont du même côté. On reconnaîtra que les branches s'arrêtent en ce point, lorsqu'en faisant varier x d’un côté seulement, leurs ordonnées deviendront imaginaires. Il faut cependant excepter I. 231

le cas où

serait infini en ce point; on considérerait

alors l’abscisse au lieu de l’ordonnée.

Le rebroussement sera du premier genre lorsque a 4# 4 sera de signe différent pour les deux branches; il sera du second quand ce signe sera le même.

984. Points conjugués. — On appelle ainsi des points isolés dont les coordonnées satisfont à l'équation d’une courbe, sans qu'on en puisse supprimer ces solutions: Pour ces points, le Ay doit être imaginaire, et, par suite,

d le plus souvent le A dx

d . , + Dans ce cas, comme le tiré BA

d’une équation du premier degré, ne saurait être imagi= naire, les coordonnées des points conjugués satisferont

este dF dE AUX ÉQUALIONS ——= 0, 7 —:0:

{ dx ? dy On les trouvera ainsi en même temps que les points

multiples. Mais Ay peut être imaginaire sans que la 1e AY N Shi ts -

limite de E le soit, parce que sa partie imaginaire pour: rait avoir pour limite zéro.

249. Points d’'arrét. — On donne ee nom à tout point où s’arrête brusquement un branche unique de courbure: On les déterminera en cherchant les valeurs de x à partir desquelles y commence à devenir imaginaire, s'il

était réel auparavant; ou à devenir réel, sil était imagi

naire. I faudra, de plus, s'assurer qu’il n’y a qu’une seule branche de la courbe à passer en ce point, et que, par conséquent, les valeurs voisines de x ne donnent pas plu:

sieurs valeurs voisines pour y.

250. Points saillants ou anguleux. — On appelle ainsi les points où s'arrêtent deux branches de courbe; :

sans y avoir la mème tangente. Ils rentrent dans la classe des points multiples. On les distinguera des points multiples ordinaires, à ce que, comme dans le cas des points de rebroussement , les deux branches ne se prolongent pas au delà de leur point de rencontre.

Lorsque l’équation d’une courbe ne donne qu’une seule valeur de y pour chaque valeur de x, toute valeur de x

qui donnera deux valeurs pour - déterminera évidemax

ment un point saillant.

Exemples de points singuliers.

AA VAR ze!

point multiple, inflexion.

H tang ZE DV SNL Y=COST, y—tancs x = ? ? z | & 4

» Y —= + tangsz,

inflexions.

œ. y=p(z)+(e—e) 7 F(x) rebroussement du premier genre, si l’on a

2p+I D -mmnt es. £ .

Sy Ce NL 7 +

rebroussement du second genre, si l’on à

A ects

2 q en supposant qu'on n'ait pas

F PME

Pr Aa f Wu js #4 dé ‘ar y Fa ES Et à LE Es Cas tons de ee

RATS: -s = loge, “# | sa L'ERFCE °h ÿ 2, d'A gQ

ren) en À 1 " — dat » . % Ê re, a CRE" \ É {4 \ LT ONE DT IN ENTRE) 28, s #3 4

point d’arrèt à l’origine;

Pres

, 1 d * ve Te re FRE TE

# É de : ‘v% L ds + ; 4 es: à

maple, cr Poe sbscisse « a,sia 7 B.

L P L il ve j