DES SURFACES

273. Plan osculateur. — On appelle ainsi la limite vers laquelle tend le plan qui passe par trois points d’une courbe, qui tenüent indéfiniment à se réduire à un seul. Soient x’, y’, z' les coordonnées d’un point quelconque“ de la courbe, x’+ Ax', y'+Ay', z'+ Az! celles d’un point infiniment voisin, et x'+2Ax'+ 4x, y'+2A4y'+ Ay', z'+ 2Az'+ A?z' celles d’un troisième point de la courbe, les différentielles étant déter-« minées d’après les accroïissements égaux d’une variable quelconque, dont x’, y’, z' sont des fonctions déterminées. |

Tout plan qui passe par le premier point a pour équation

z— 2 —=a(x— x) + 0b(y— 7); pour qu il passe par les deux autres, on aura les condi=« tions | | Az —=aAx'+ bay, A?z/— ax" + bA’y";

et pour le plan limite ces équations auront lieu entre les différentielles

dx'ses dr "ds, 14") AP ONEER

Les valeurs de a et b tirées de ces deux équations, et

reportées dans celle du plan, donnent l'équation du plan osculateur, qui est

(@— 2") (dy dz'— d;' dy) + (y — y) (dz'd'x' — dx’ d? z/) +(z— 3) (dx'd y" — dy'd x!) — 0.

274. Si l’on cherchait la limite des plans passant par la tangente en un point d’une courbe, et par un autre de ses points tendant vers le premier, il est facile de voir qu’on retrouverait le plan osculateur.

En eflet, les équations de la tangente sont

dx —=—(z2— 2), y—7y = RE D ol:

et le plan dont l'équation est z—z—=a(x—x)+bd(ry — 7)

contiendra cette tangente, si l’on a

= ME 1! = adc! + bdy EM T Hat? ou Ro EE

ou, prenant { pour variable indépendante,

Pour que ce même plan passe par un point ayant pour coordonnées x + Ax', ÿ'+Ay', z'+ Az', il faudra

que l’on ait Nz—= ak t"+4 b A dy.

Mais on ne pourra, dans cette équation, négliger les termes du second ordre, parce que tous ceux du premier disparaissent, en vertu de l'équation précédente.

En eilet, si l’on développe les différences, et qu'on se

borne au second ordre, on aura

À ! dz Rue AT:

2e 22 à dt dt : 9 4 ly d'y! At?

A y! —— — —+-,, 4 dé Le EC ; dx’ d°x! Ar?

Ar = — At+ ——— — + dt de 2

Substituant dans l'équation ci-dessus, les termes qui renferment At au premier degré disparaissent , et il reste,”

en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, et“ sus P ;

Fos A'r° divisant par —;

d°3/ d'x! di == Ha {27 — ad?x! bd?y!.

de? 3 de? RE dt: À ES ja es

Les coefficients « et b sont donc déterminés par les mêmes

équations que précédemment, et l'on trouve l'équation M

du plan osculateur.

On trouverait encore le même plan en cherchant as limite de celui qui passerait par une tangente et une pas

rallèle à la tangente infiniment voisine.

275. Angle de contingence. —On appelle aïnsi angle de deux tangentes infiniment voisines, ou, pour parler rigoureusement, la différentielle qui correspond à cet angle infiniment petit; c’est-à-dire une quantité dontle rapport à l’accroissement de la variable indépendante soit égal à la limite du rapport de l'angle des tangentes à ce même accroissement. Ces tangentes n'étant pas dans un même plan, leur angle est celui de deux droites qui pas=

seraient par un même point et leur seraient parallèles”

Soient a, b, c les cosinus des angles formés avec les axes

par la première tangente, et a + Aa, b + Ab, c +A

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. JO ceux qui se rapportent à la seconde; le cosinus de l’angle « de ces deux directions sera

COS © = da +b?+c'+aAa + bAb + cAc — 1 +aAa—+bAb+caAc.

De l'équation Œ+b+Ec= 1 on tire

2aAa + 2b Ab + 2cAc + Aa? + Ab'+ Ac —=0;

donc

cos 2 sin’ = Fa EU AE raba I — = D re DRE ET PT A ER APP 2 2

Si l’on remplace sin © par w, et les différences par les

différentielles, © sera ce que nous avons appelé l'angle de contingence, et l’on aura

= da? + db?+ d?, où w —= ÿ da? + db? + de’.

On pourrait encore établir cette formule par des considérations géométriques.

Menant MB (fig. 92) parallèle à la seconde tangente, et prenant MA = MB—1:,0ona

arc AB = 0.

Projetant le triangle rectiligne MAB sur les trois axes, et appelant À, um, v les angles de la direction AB avec les directions positives de ces axes, on pourra écrire

da —=wcos), db—wcosu, dc—=ecos», da db de

EE COSVIENE V da? + db? + de’ V da? + db? + de’

Cela fait connaître l'angle de contingence et les cosinus

des angles de la direction prise du point M vers le centre de courbure.

Or on a dx dy dz | She ds ? é ds ds À d’où l’on tire dsd? x — dxd?s dsd'y — dyd?s da 25 db. TRES CR £ ds? à & ds? ?

dsd?z — dzdis ; SR TS

substituant ces valeurs dans celle de w, et observant qu'on a ds? = dx! + dy* + dz’, dsd?s = dxd°x + dyd’?y + dzd*3,

on obtiendra Ï SR VE SE PR DEA 7 V d'x° + d'y? + d?z2— d?s?.

On peut faire disparaître d?s de cette expression, en tirant sa valeur de l’équation précédente : on trouve ainsi, toute réduction faite,

276. Si, au lieu de chercher l’angle de deux tangentes en des points M, M'infiniment voisins (fig. 93), on cher” chait l’angle dé da corde MM avec la corde MM, en supposant les deux points M'M” correspondants aux accroissements égaux d’une variable quelconque t, on trouverait la même expression pour l’angle TM'M”. En effet, les cosinus des angles de MT avec les axes sont les

A Z . ——, et diffèrent de quantités infini=

AT A PE FAPPOTÉS up” M MM

rs limites respectives ——; ——) —:

ment petites , de leurs P ART changement de £en { + dt donnera donc les mêmes accrois-

sements dans les uns et les autres, en négligeant les quantités d'un ordre supérieur à celui des accroissements. Il est donc inutile de recommencer ici les calculs précédents; et la valeur de TM’M” aura la mème expression que celle de l’angle de contingence w.

977. Cercle osculateur. — Dans les courbes à double courbure , comme dans les courbes planes, nous appellerons cercle osculateur la limite du cercle qui passe par trois points infiniment voisins ; ce cercle limite se trouvera évidemment dans le plan osculateur.

Soient M (fig. 94) un point quelconque de la courbe; M’, M’ des points qui s’en approchent indéfiniment; O le point de rencontre des perpendiculaires menées par M, M à ces deux cordes, dans le plan qui les contient : MO sera le diamètre du cercle passant par M, M, M”. L'angle O a pour mesure arc de cercle MMM divisé parle diamètre MO. Or on peut substituer à cet arc celui de là courbe, ou 2 As + A?s.

2 A5 » Je On aura done MO — PATLEn négligeant A*?s.

Mais l’angle O est égal à TM’ qui peut être remplacé par l’angle de contingence w relatif à l'arc As. On aura

ainsi, en désignant par R le rayon du cercle osculateur,

Às ; R = —; d'où, en remettant pour w l’une ou l’autre des (2)

deux expressions données précédemment, on tire les formules rigoureusement exactes

ds?

V d'x° + dy? + d'z = d's!

ds° V(drd?z - drd°yÿÿ +(dzd?x — drd?3} +(dxd°y — dyd'x}

278. Angle de torsion. — On appelle ainsi l’angle de deux plans Eee consécutifs, ou, pour parler Pit exactement, la différentielle correspondante. 4

Soient &, 6, y les angles que fait avec les axes la nor male à un plan osculateur ; on aura, d’après l'équation de ce plan, x, y, z étant les coordonnées du point de la courbe, dy &®z — dzd y ©,

COS D dzd'x — drd'z COS6 LE RER, D dxd y — dy x COS y — ————— )

D cn posant

D=Y(drd?z — d:d'y Ÿ + (dzd°x — dxd°z) +(drd°y — dyd°x)’.

La normale au plan osculateur infiniment voisin fera avec la précédente un angle égal à celui des deux plans; si on le désigne par Ü, on aura, par un calcul semblable à celur qui à donné l’angle de contingence,

U = ÿ{d.cosa} + (d.cos6)} + (d.cos7).

Mais il faut l'obtenir en fonction des différentielles de #; Y, z3 pour cela, posant dyd?z — dzd'y =X, dzd'x — dxd’z= \Y, dxdy — dy x = 2, d’où dy &z— didy = dX, did x — dxd'z= d\Y, dx& y — dyd'x = dZ,

on trouvera

YSVOER EE 7) (ax + dv + 47) —(KAX + YAY +742} Se MIE YA 7

V(XdZ—ZaY)} +(ZdX—XdZ} +(XdY—YaX}, api NAN 7°

Mais on a

MomeZaY ZdX—XdZ : XdY—Yax RL dr 7 dz — dx(d'ydz— d'zd y) + dy(d'z8 x — d'x&z) + dzi(d'xdy — dyd x), Donc

dx(d y d 3 — d zdy)+ dy (d zd°x — d'xd°z)-+ dz(d'xd y — d'y x)

D ou day (dde dede) + (dry dd}:

Il n’y a pas lieu de représenter cette seconde courbure par celle d’un cercle qui se présenterait aussi naturellement que le cercle osculateur qui mesure la première.

On irouverait la même expression, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à elle-même, en considérant trois côtés consécutifs d’un polygone infinitésimal inscrit, et cherchant l’angle que le plan des deux premiers fait avec le plan du deuxième et du troisième.

219. Si le rayon de la première courbure est infini pour tous les points d’une ligne, tous les côtés du polygone infinitésimal inscrit dans cetie ligne sont dans Île prolongement les uns des autres, et, par conséquent, cette ligne est droite. La condition pour qu’une ligne soit droite pourrait donc s'exprimer par l'équation différenuelle

(dy d?z — dzd'y} + (dd x — dxd'z} + (dxd!y — dy dx) = 0, d'où l’on tire les trois équations

dydz— did'y=0, did x — dxd'3= 0, dxd y — dyd'x — 0

ou encore dz dx dy de ee D: —— == OMR ; dy — nr 1 He d’où l’on conclut dx d RSR a24 = b, dz dz

a et b étant des constantes arbitraires. Et comme @ et b | sont les dérivées de az et bz, il suit d’une proposition démontrée précédemment , que les fonctions x et y ne peuvent être que de la forme

x=az+a, Y = bz+6,

a et 6 désignant des constantes arbitraires. On retombe | ainsi sur les équations générales de la ligne droite.

Si la seconde courbure est nulle, tous les plans oscula= teurs se confondront , et la courbe sera plane. La condi= | tion pour qu'une UE soit plane est donc exprimée par l'équation différentielle

dx(dydz — d'z& y) + dy(d'z® x —d'xdz) + dz(d xd y — dy&x) = 0, équation qui se réduit à d'yBz — dz® y = 0,

si l’on prend x pour variable indépendante. | On vérifie bien facilement que cette relation existe pour | tous les points d'une ligne située tout entière dans un

plan.

280. Surface polaire. — Si l'on conçoit un polygone infinitésimal inscrit dans une courbe à double courbure, et qu’on élève des plans perpendiculaires au milieu de ses« côtés successifs, la ligne d’intersection de deux de ces plans consécutifs sera le lieu des pôles du cercle passant

par les trois sommets correspondants du polygone; et sa limite sera le lieu des pôles du cercle osculateur, vers lequel tend le cercle variable.

Il est facile de reconnaître d’ailleurs que l’on trouverait la mème ligne en cherchant la limite de l'intersection de deux plans normaux consécutifs.

Si l’on agit de la même manière en tous les points de la courbe donnée, on obtiendra une suite de lignes polaires qui formeront une surface qu’on nomme surface polaire. Elle n’est autre chose que le lieu des centres des sphères limites de celles qui ont trois points infiniment voisins, communs avec la courbe. Cette surface est développable ; car elle est la limite d’une surface qui se compose d’éléments plans indéfinis compris entre les deux intersections successives de trois plans consécutifs. De plus, ces éléments plans ont pour limite de leurs directions, celle des plans tangents : donc tous les plans normaux à la courbe sont tangents à sa surface polaire, et cette dernière peut ètre considérée comme la surface enveloppe de ces plans.

281. Sphère osculatrice. — On désigne sous ce nom la limite des sphères qui ont avec la courbe quatre points communs qui se rapprochent indéfiniment. Le centre de la sphère passant par quatre sommets consécutifs du polygone inscrit, est à la rencontre des deux droites suivant lesquelles se coupent les trois plans perpendiculaires aux trois côtés consécutifs du polygone; c’est le pointcommun à deux droïtes polaires consécutives.

Les centres de ces sphères successives déterminent un polygone qui tend vers une courbe dont les droites polaires sont les tangentes; ceite courbe est donc l'enveloppe des polaires. Klle est aussi l’arête de rebroussement de la surface développable, lieu de ces polaires, c’est-à-dire de la surface polaire.

282. Équation de la surface polaire. — Cette surface est le lieu des intersections successives des plans normaux: ou encore des normales à la courbe donnée. Or l'équation d’un plan normal quelconque est

(1) (x—x')dx + (y— y')dy' + (z—z)dz = 0.

Si l’on donne à la variable indépendante t, dont on re= garde x’, 7, 3 comme des fonctions connues, un accrois= sement infiniment petit At, et que l’on considère le plan normal, au point voisin qui en résulte, son équation se

composera des mêmes termes que la précédente, plus les

termes résultant du changement des quantités x’, y, 24%

dx', dy’, dz'. Les premiers termes s’annulent pour les

points communs aux deux plans, et il reste, en négligeant ceux du troisième ordre et passant aux différentielles,

(2) (x—x')d'x + (y — y')dy"+(z—3)dz — ds"? 0;

Les équations (1) et (2) ont donc lieu entre les coordons nées x, y, z de tous les points d’une des génératrices de la surface polaire.

Donc on aura l'équation de la surface polaire, en élë minant x’, y', z! entre les équations (1), (2) et celles de la courbe donnée.

283. Centre de la sphère osculatrice. — Ce centreeest la limite du point de rencontre de trois plans normaux consécutifs , ou de deux droites suivant lesquelles se coupent les deux premiers et les deux derniers de ces plans. L'une est représentée à la limite par les deux équa-

tions (1), (2); l’autre par ces équations augmentées de.

leurs différentielles. Pour la limite du point commun aux deux droites, les différentielles des équations (1), (2)*pà rapport à x',7’, z!, dx!,..., seront donc nulles, etalMen

résultera cette nouvelle équation (B)(æ= zx) +(y—7y')dy +(z—3)d'/—3ds ds —0.

Les équations (1), (2), (3) donnent le centre de la sphère osculatrice correspondante au point (x’, y", z'); et l’on aura les équations du lieu de ces centres , ou de l’arête de rebroussement de la surface polaire, en éliminant x’, 7", z! entre ces trois équations et celles de la courbe donnée ; d’où il résulte deux équations entre x, y, z.

284. Il est facile de reconnaitre, au moyen des équations (1), (2), que tout plan normal à la courbe est tansent à la surface polaire. En effet, considérons sur cette dernière un point quelconque infiniment voisin de celui qui a pour coordonnées x, y, z et qui se trouve dans le plan normal déterminé par l'équation (1). Soient considérés dx, dy, dz comme les différences de leurs coordonnées : les équations (1), (2) sont satisfaites par les coordonnées du premier point; et elles-le seront par celles du deuxième , si l’on considère le plan normal infiniment voisin qui passe par ce deuxième point.

Or, si l’on donne à x, Y: Z,; X’, y’, z' les accroissements correspondants dx, dy, dz, dx’, dy', dz! dans l'équation (1), il restera, en vertu de l'équation (2),

dxdzx! + dydy' + dzdz! = 0.

Mais la droite qui joint les deux points pris sur la surface polaire, et finit par lui être tangente, fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx, dy, dz; l'équation précédente prouve donc que cette droite est perpendiculaire à la tangente à la courbe au point (x’, y’, z'), et que, par conséquent, elle est située dans le plan normal, au même point de cette courbe,

} AR L Ten 27 “+ L'Ae RTE ee Fr MALE CA ré 7 TEE | € Fe eh SE sud REX A EAU È GE +, 24 Là Xp 6 PT ÉTTEN 1e Ft NS À Lu FLE : ù "++ Ÿ Ce . RE

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puisqu'elle a déjà le point (x, y, 2) commun avec plan. L FOSSENE , 3 4

ue 4)

285. Centre de courbure. — Le centre du cercle osc ulateur, ou le centre de la première courbure, se trouve dans le plan osculateur, et sur la droite polaire du - poil nt que l’on considère sur la courbe. On aura donc ses Coor. données en cherchant les valeurs de x,y, z qui satisfont aux équations 4

(x—zx')dr" +(y—r')dr +(z=2)d=0 (x— 2) dx + (y—7')dy + (z—2)d'7 = ds”?, ; à

(x — x')(dy'd'z — dz' d'y") + (y —7")(dz' dx! — dx d'2/) +\z—2)(dx' dy — dy! dx ‘ko 415 AR Ces valeurs de x, y, z sont données par les formules sui vanies

dd .

2 + 3 —2— ist [ dy’ (dy! d'z'— dz d? y!) — dx' (dz! d?x' — 4

Y— y! = È a La (dz' d'y" — dy! d° x!) — dz' (dy! d?z

D = 2e [dz' (dz' dx! — dx' d°z!) — dy" (dx' d? y" — dy d d

R désignant le rayon de courbure, dont la valeur est

ds'° 72 sé V(dr'dz — ds: dy) + (dz' dx" — dx d' 3) + (dx/d°y! — dr da)

Si, au lieu de déterminer les coordonnées du centre de courbure, on voulait les équations du lieu de ces centres il A d'éliminer x’, y’, z' entre les trois premiè SRE et celles de la courbe donnée ; 3 JÉS deux é na=

théorie est semblable à celle que nous avons donnée pour Ies courbes planes; seulement, au lieu de couper les courbes par des droites parallèles à un axe, il faudra les couper par des plans parallèles à l’un des plans coordonnés, par exemple au plan x, y. Ainsi, lorsque deux courbes auront un point commun x’, y’, z', et qu'en les coupant par un plan parallèle au plan x, y et situé à une distance infiniment petite dz' du point commun, la distance des deux points ainsi obtenus sur ces courbes sera infiniment petite, de Pordre n + 1, on dira que les courbes ont un contact de l’ordre 7. On reconnaît facilement que Vordre de cette distance infiniment petite est le-même pour des plans coordonnés quelconques, pourvu que les tangentes à ces courbes au point commun ne soient pas parallèles au plan sécant. La projection d’une droite sur un plan étant égale au produit de cette droite par le cosinus de son inclinaison sur ce plan, le rapport des lonsueurs de la droite et de sa projection a une limite finie, si la limite de cette droite ne fait pas un angle droit avec le plan. Donc les trois proiections orthogonales d’une droite variable de grandeur et de direction sont, en général, des grandeurs du même ordre que cette droite; et il en est toujours ainsi pour deux de ses projections au moins : il ne peut y avoir qu'une d’entre elles, au plus, qui soit infiniment petite par rapport à cette droite. D’où il suit que, pour que deux courbes à double courbure aient un contact de l’ordre n, 1l est nécessaire et suffisant que deux de leurs projections aient un contact de cet ordre; ce qui ramène à la théorie du contact des courbes planes. Ainsi les conditions pour que ce contact ait lieu au point dont les coordonnées sont x’, y", z', consistent en ce que pour la valeur z’ de z, les quantités

PA dy AUX d'y Le dy

L, y 3 9 ——) +) D ———3 dz dz dz? dz? dz! dz

402 - LIVRE Sa L4E )t SUR SSIR 1 Li SEN £ aient les mêmes valeurs d’après les équations de ces deux courbes. On obtiendra donc encore la courbe osculatricé d’une espèce donnée, en déterminant les coefficients de ses équations de manière qu'il en résulte le plus de déris vées communes avec la courbe donnée, à partir des pré mières. Si les projections sur un plan avaient un contact plus élevé que les projections sur un autre, il suit de cé qui précède que le moins élevé des deux exprimerait l’or= dre du contact des deux courbes proposées. 4

287. Droite osculatrice. — Les équations générales d’une droite étant

MESUT2 EE A NL bz + 6, les équations qui détermineront «a, «, b, 6 seront

ile / ; Etaie df552 , cer

z'= ad +u, y = bz +6

dy”, 1% GE étant tirées des équations de la courbe

donnée. La droite osculatrice a donc pour équations

les dérivées EX

dx’ dy’ RE) (ete 2 — pa (z— 2):

gente.