Cercle Oscuareur: ee Le équations le plus e coma

celles d’une sphère et d’un plan. Soient donc les és générales du cercle

(1) (2-9 + (y 26) (x ep ORe,

(2) 2 + ax + by Ke =20$ Re | différentiant deux fois ces équations , en considérant x eu

comme fonctions de z , et les autres quantités comme constantes, on aura les équations suivantes :

— à A6) gl us CN 0 + le) eo, 2 PRE a? y Fr LE (4 nt Mate Arr A RL for i

Lx dy Er 2 Ge ua VISE (3) # dz der .

in HV d?} dal (0) [44 12 HET ray

On remettra dans ces six équations , au lieu de x, 7, z, les coordonnées du point donné de la courbe, et l’on remplacera toutes les dérivées par celles que donneront les équations de cette même courbe. On en déduira les valeurs de six des constantes a, b,c,«,6,7,;R, et il en restera une indéterminée, parce qu'on peut faire passer une infinité de sphères par un mème cercle.

Les coefficients a, b, c sont entièrement détermine et équation du plan ARÉTOUR en désignant par x’, y’, z’ les coordonnées du point donné,

(z — 2°) (dx' d'y! — dy! d'x') — dz d°y" (x — x!) + dz'd?x' (y — y!) = 0.

Ceiteéquation n'est autre chose que celle du plan osculateur, dans laquelle z est pris pour variable indépendante. Les équations (3), (4), dans lesquelles on regardera %,6,7 comme variables, représentent deux plans qui sont perpendiculaires au plan (2), en vertu des équations (5), (6). Les centres des sphères sont donc sur une perpendiculaire au plan du cercle, et elles couperont toutes ce plan suivant un même cercle, puisqu'elles passeront d’ailleurs par un même point (x’, y’, z!).

404 LIVRE I. Re . ba:

avait été déterminé relativement au ceréle osculateur,des considérations différentes.

Contact des surfaces.

289. FRTQUE deux surfaces ont un point commu (x, y’, z'), et qu'en faisant varier x, y” de quantités infiniment petites quelconques dx’, dy’, la différence dé valeurs de z correspondantes est un infiniment petit d dei l’ordre 7 +1, on dit que ces surfaces ont un contact dt l’ordre n. L'ordre de cette différence est le même pou toutes les directions qui ne sont pas parallèles aux pla ns tangents à ces surfaces, au point que l’on considère: résulte de là que deux surfaces auront un contact du pr mier ordre, lorsque pour une même valeur de x', "oi tirera des équations de l’une et de l’autre les mêmes va

ds ads / leurs pour z’, ra \Re

cients Hré ee rip du second ordre:

HET ad AAE dx? dz'dy'. dy?

Enfin le contact sera de l’ordre 7 lorsque tous les c cients différentiels seront les mêmes jusqu’à cet ordr clusivement. |

La surface osculatrice d’une espèce donnée se dé |

nera comme les courbes osculatrices, en établissant

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 409 grand nombre possible de dérivées communes entre les fonctions qui expriment la valeur de z dans son équation et celle de l'autre surface que l’on considère.

990. Plan osculateur à une surface. — Soit l'équation générale d’un plan

z—= ax + bY + c; on aura, pour déterminer a, b, c, les équations

d2! dz' / ’ ; s' ae z'—= ax + by C) FAR EE — —Ù, …

«an ds, pr : . A TE Tr ji étant tirées de l’équation de la surface donnée. «lr'? dy

L'équation du plan osculateur sera donc

Ce plan n'est donc autre chose que le plan tangent.

291. Sphère osculatrice à une surface. — T’équation la-plus générale d’une sphère ne renfermant que quatre constantes arbitraires , on ne peut, en général, établir un contact du second ordre entré une sphère et une surface donnée, puisqu'il en résulterait six équations de condition. On ne pourra donc établir, entre ces surfaces, qu’un contact du premier ordre. [Il restera une constante indéterminée dans l'équation de la sphère, et l’on pourra en profiter de manière à déterminer un contact du second ordre avec l’une des courbes que l’on peut tracer sur la surface; mais ces recherches nous écarteraient de notre objet. |