Contact des courbes et des surfaces. — Si, à
406 LIVRE II. | ‘ 200 parür d’un point commun à une courbe et à une surfa | on mène des parallèles à l’axe des z, on dira qu'il y a. contact de l’ordre 7, lorsque la différence des valeurs correspondantes de z pour la courbe et la surface sera infini ment petite de l’ordre 7 +1. On arrivera à des condi=. tions du même genre que dans les cas précédents, et dans. le détail ÉNIts nous n’entrerons pas.
293, Développées.—Si l’on considère une quelconque des normales en un point d’une courbe à double courbure; , | elle sera tangente à la surface polaire. Le plan normal mené par un point de la courbe, infiniment voisin du pre: mier, Coupera cette normale en un pointqui sera commuil ni à deux normales infiniment voisines. En faisant pour l& seconde normale ce qui a été fait pour la première, et con= tinuant ainsi, On aura une suite indéfinie de normales à la courbe donnée, dont chacune rencontrera la suivanté pa et dont les points de contact avec la surface polaire seront infiniment rapprochés les uns des autres. Le point « de concours des deux normales consécutives , se trouvantsur l'intersection des deux plans normaux, se rapproche À définiment de la surface polaire, qui est le lieu des limites | des intersections des plans normaux consécutifs. - :
Cette suite de normales -détermine done un polygo: dont les côtés sont infiniment petits, et dont la limi est une courbe tangente à toutes ces normales, et situées sur la surface polaire : on l’appelle développée del courbe donnée. EE |
Comme on peut choisir une quelconque des normal e à la courbe au point de départ, on obtiendra une infini $ de développées aussi rapprochées que l’on voudrnes 4 | toutes seront sur la surface polaire, qui peut être consi- & dérée comme en étani le lieu géométrique. Relativement ë
à ces courbes que nous avons nommées développées, la première prend le nom de développante, à cause d’une propriété analogue à celle que nous avons reconnue dans les courbes planes , et dont nous allons donner la démonstration.
Soient MN, M'N’ (fig. 95) deux droites normales en M et M' à la te en question, N et N’ leurs points de contact avec la développée; nous allons prouver que la différence des longueurs M'N’ et MN est égale à l’arc NN, à un infiniment petit près, du second ordre au moins. Eneffet, siaux points M et N on conçoit deux plans perpendiculaires à MN, la longueur M'P sera du second ordre puisque la courbe M'M est tangente au plan; de plus, QP surpasse MN d’une quantité infiniment petite du second ordre. On peut donc prendre N°Q comme égale à la différence M'N'— MN, à une quantité près du second ordre. Maïs la limite du rapport de N’Q à la corde NN est l'unité, puisque les angles Q et N du triangle rectiligne QNN' tendent vers des angles droits. Donc N/Q diflère de Parc N'N, tout au plus d’un infiniment petit “du second ordre; donc, enfin, la différence de deux normales consécutives MN, M’N' est égale à l'arc NN/, compris entre leurs points de contact avec la développée, plus où Moins une quantité infiniment petite par rapport à cet arc, et qui, par conséquent "peut être négligée sans qu'il en résulte aucune erreur dans les limites des rapports ou des sommes.
Ibrésulte de là que si en deux points quelconques de la développée on mène des tangentes terminées à la développante, la différence de leurs longueurs est rigoureusement égale à l'arc compris entre les points de contact.
Et l’on voit par là que la différence entre M'N'— MN
408 LIVRE il.
et l’are NN/, qui devait être au moins du second cire | était Paire os égale à zéro. 4
Maintenant supposons un fil qui coïncide avec la dé”! veloppée à partir d’un point quelconque, où il s'en séparen tangentiellement et-se prolonge jusqu’à la Ye pE | Si on le déroule en le laissant toujours tangent à la développée, il prendra successivement la position des diverses normales qui sont tangentes ‘à cette courbe; et ces nor= | males croissant précisément de la même longueur que 1 | fil qui se déroule, ce sera toujours le même point dece fil qui se trouvera sur la développante. Cette courbe sera. | donc décrite par lextrémité du fil pris dans la premières position. C’est cette propriété qui a fait donner aux deu courbes, l'une par rapport à l’autre, les noms de déve loppée et développante.
294. Le lieu des centres des cercles osculateurs d’une courbe à double courbure n’est pas une développée des! cette courbe. En effet, deux plans osculateurs consécutifs se coupent suivant une droite qui a pour limite la tan, gente, et ils forment entre eux un angle infmiment peut | du premier ordre. La distance du centre de courbure con” tenu dans le premier, au second plan, est doncun inf 0 0 | ment petit du premier ordre; or sa distance à la normale contenue dans ce second are est plus grande que sa distance au plan : donc cette normale n’est pas tangente à la courbe qui passe par ces deux centres, puisqu'il faudrait pour cela que cette distance füt un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier. Le lieu des centres de cours bure n'est donc pas une des développées, lorsqueMla courbe que l’on considère n’est-pas plane.
295. Les développées d’une courbe à double courbure jouissent de la propriété remarquable de se réduire”àdes
| CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 409 + lignes droites quand on développe la surface polaire sur un plan.
Pour le démontrer, nous considérerons un polygone infinitésimal inscrit dans la courbe donnée, et ayant ses côtés égaux ; ce qui revient à prendre l’arc pour variable indépendante. Sur les milieux de ces côtés nous conce- » vrons des plans perpendiculaires, dont les intersections formeront les arêtes de la surface développable qui, à la limite, devient la surface polaire.
Or, si du point milieu d’un côté quelconque on trace une droite dans le plan normal, elle coupera l’arèête commune à ce plan et au suivant, en un point qui, joint au mulieu du côté suivant, donnera une normale à ce côté; et il est facile de voir que ces deux normales font des angles égaux avec l’arête que nous, avons considérée.
Cette seconde normale prolongée coupera l’arète commune au second plan normal et au troisième, en un point qui, joint au milieu du troisième côté, formera une normale à ce côté, faisant avec la seconde arête le même angle que la normale précédente ; et ainsi de suite indéfiniment.
Maintenant, si l’on développe sur un plan la surface qui renferme toutes ces arêtes, deux normales consécutives se rabattront l'une sur l’autre, puisqu'elles font le même angle avec l’arête sur laquelle elles se coupent; et le polygone infinitésimal , formé par les intersections de ces normales successives, aura tous ses côtés sur une même droite: Ce résultai ayant lieu quelle que soit la petitesse des côtés de ce polygone, aura lieu pour la courbe limite, qui est une quelconque des développées de la courbe proposée.
- Donc, dans le rabattement de la surface polaire sur un
plan, toutes les développées de la courbe détient dé :
lignes droites. il
296. Dans le développement de la surface polaire, les côtés infiniment petits qui composent la développéene changeant pas de longueur, un arc quelconque de cette courbe,a la même longueur avant ou après le développe=
ment; et 1l en serait de même de toute autre ligne tracée !
sur cette surface. Donc le plus court chemin d’un point à un autre sur la surface polaire est l’arc de la développée qui passe par ces deux points, puisque, devenant une li= gne droite, il est plus court que tout autre après une transformation qui n’a pas changé les longueurs.
‘ On peut encore remarquer que si l’on suppose un fil appliqué sur le polygone formé par les normales suc= cessives que nous venons de considérer, et prolongé suivant un quelconque des côtés jusqu’au Hibok du côté correspondant du premier polygone, inscrit dans la courbe donnée, et qu’ensuite on développe ce fil de manière à ce qu il soit successivement dans le prolongement de chacun des côtés du polygone sur lequel il est appliqué, son. extrémité passera par tous les milieux des côtés de l'autre polygone. Done, si l’on passe aux limites des polygones, on retrouvera la propriété démontrée précédemment par des considérations différentes. |
Fe Equations des développées. es l’on désigne par x’, 3’, 2’ les coordonnées d'un point quel AS de la res ÉAROSÉe. l’ can e de Ja surface polaire s'obtient en éliminant x’, y, z! entre les deux équations de la
eourbe et les de suivantes :
fr x’ kde! (y — 7! }dy! + (z—3')dzt=0,
/ Ce ES
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. AII Si maintenant on considère un quelconque des points dont les coordonnées x, ÿ, z satisfont à ces équations, on passera dece point au point voisin de la développée si la droite qui joint ces deux points est dans le prolongement de-celle qui joint les points (x’, y’, z'), (x, y, 2); ce qui aura lieu si les différentielles dx, dy, dz sont proportionnelles aux différences x — x’, y — y", z — z'.On tirerait de là les deux équations
Man Ar. dy - Y=7y
= , ===) “ «lz Sex da Ze à
Mais une seule sera nécessaire, parce que les précédentes uxpriment que les points (x, y, z) ne cessent pas d’être sur Ja surface polaire. Une quelconque de ces deux équaons élant jointe aux deux précédentes, et à celles de la courbe donnée , on aura cinq équations entre lesquelles on éliminera x’, y’, z', et l’on obtiendra deux équations différentielles qui conviendront à l’une quelconque des développées.
Application des théories précédentes à l’hélice.
295. Si l'on désigne par a le rayon de la base du CYlindre, et par m1 la tangente de l’inclinaison de l’hélice sur le plan de cette base, les équations des trois projections de cette courbe seront
z PA re ; D OOS EE 97 N EE SAN .— D cb MM ES Fri nt à PTTC ï
) N ë L c n , 1° $ L'axe des x passe par le point ou l’hélice perce le plan de la base; et cette courbe , en s'élevant, tourne de l’axe des æpositifs vers l'axe des y positifs.
LS 2 Le à ÉD.
412 LIVRE Il.
Ces équations différentiées donnent \ FE 22 I Z Fat n° dx = — —sin— dz, dy = — cos — dz, : ds = Va + da,
2) ma WL na mm
Z .. Z DT — cos— dz, dy = — sin—— dz, d?s — 0, ma |
ma ma m°a L’équation du plan osculateur devient alors, en prenant z pour variable indépendante,
Z2—3 = — mx sin— <+ my COS—:
ma k ma
Ce plan fait avec le plan de la base un angle dont le cosi=
J $ nus est ——— et la tangente m». Il est le même que celui V1 + 1?
de l’hélice avec le même plan. P
L'équation du plan normal sera
! ny
| + 72 ë m(z—z')=xsin— —7Y0c0s8 ma mu
l''anole de contingence, dont l'expression générale est S 8 Ve Ù— T Vd?x? + re + dia ds as
devient, dans le cas actuel,
dz OL es ll ain V I —+- 7°
L’angle de deux plans osculateurs consécutifs est
dz
aVitn
oÙu 71.
Le rayon du cercle osculateur, dont la valeur générale
ds F \ £ est R — —; sera égal à a (1 + m°); sa grandeur est donc RE.
constante ét surpasse de am° le rayon de la base. Pour connaitre sa direction, il faut chercher l'intersection du plan normal et du plan osculateur. Les équations combinées donnent
PSE Le = CAS aus ma
Donc le rayon de courbure est constamment parallèle au plan de la base, et rencontre l’axe du cylindre. Le centre de courbure se meut donc sur un cylindre ayant même axe que le premier, et pour base un cercle dont le rayon est am. Il décrit donc sur ce cylindre une hélice dont le pas est le même que celui de l’hélice proposée.
On trouvera le même résultat en calculant les coordonnées du centre de courbure. Leurs valeurs sont
RE 2 Z 2=2, Y—=—AaM SM—, ZX—— am? COS —») ma ma
et l’on en déduit immédiatement les conséquences précédentes.
Déterminons maintenant les équations d’une arête quelconque de la surface polaire, c’est-à-dire de l’inter-
section des deux plans normaux infiniment voisins. Ces équations sont les suivantes :
m(z—z)—=xsin— — y cos — ; mnm«a ma 2 EE TL COS— + Y SN — — — an’.
ma ma
Cette droite est nécessairement perpendiculaire au plan osculateur, et on le vérifiera facilement au moyen de ses
414 LIVRE II. #4 £ | équations. Comme d’ailleurs elle passe par le centre de 1 courbure et qu'elle est perpendiculaire au rayon. de cour- ë bure, elle est tangente au cylindre sur lequel se meut l'a | trémité de ce rayon, et dont la base à pour rayon am.
De plus, il est facile de reconnaître qu elle est tangente à! l’hélice décrite par cette extrémité. En effet, puisqu "elle
est perpendiculaire au plan osculateur, elle fait avec\le !
plan de la base un angle doni la tangente est = : or lhénm
lice qui est le lieu des centres de courbure, et dont nous venons de donner les Cut , est tracée sur le cylindre | dont le rayon est am”, et fait avec sa base un angle dont
! x : na la tangente est —: Donc l’arête de la surface polaire est 1 '
tangente à cette hélice, et la surface polaire est l'héliçoïde | développable dont cette hélice est l’arète de rebrousses ment. 11
Mais on sait que la sous-tangente d’une hélice sur le plan de sa base est égale à l'arc de cette base, depuis LorE # gine de l’hélice jusqu’à la projection du point de contact. | Donc la trace de la surface polaire sur le plan (æxy)Mest | la opens de la base du cylindre dont le rayon est am”. 2 0
299. Si l’on veut avoir l'équation de la surface polaire; il faut éliminer z' entre les deux équations |
mz—2)=.
X COS— + Y SIN— = — am.
TE ma
Ajoutant les carrés des membres de ces deux équations,
on obüent
m°|(z— 2 + am |= xt +»
—"ChiCUL DIS DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 415 . + Ar Q substituant dans la seconde, on trouve l’équation cherchée, qui est
Z À FRS ANS es NN OT ARR RES" mu mi a?
+ uns 2 HA sin I a 2 4 LL de be mn a?
La trace de cette surface sur le plan (xy) a pour équation
L? + r2 ; x? + 7° reg / EE RCE PUS À 7 — orne.
ma? In?
Cette courbe est la développante du cercle dont le rayon est am”, et elle prend naissance au point de ce cercle situé sur l'axe des x, et du côté des x négatifs; ce qui s'accorde avec une des propositions précédemment démontrées.
Une hélice pouvant avoir ses deux courbures égales à celle d’une courbe quelconque en un de ses points, son osculation sera d’un ordre plus élevé que celle du cercle; elle donnerait donc ure idée plus exacte de la courbe à laquelle on la comparerait. Les deux constantes m et a se détermineraient en égalant ses deux courbures à celles de la courbe donnée, au point considéré.
cites vogetenetrqnrner
