CHAPITRE PREMIER

COMMENT LE PROBLÈME DES LIMITES DE SOMMES SE RAMÈNE AU PROBLÈME INVERSE DE CELUI DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

300. Nous avons résolu d’une manière générale le problème d'analyse quia pour objetlarecherchedelalimite du rapport de quantités infiniment petites, lorsque ces quantités sont les accroissements simultanés de variables liées par des équations données. Ce dernier cas est le plus ordinaire, et on y ramène en général les autres; cependantil peut en être autrement, et l’on en voit des exemples dans quelques-unes des questions géométriques que nous avons traitées: on se dirige alors suivant les circonstances.

Nous allons maintenant nous occuper du problème infinitésimal qui a pour objet la détermination des limites de sommes , et chercher si l’on peut le ramener comme le . précédent à des méthodes générales de calcul.

Remarquons d'abord que dans toutes les questions de ce genre que nous avons étudiées précédemment, les quantités infiniment petites que nous avons substituées aux éléments exacts de la grandeur à évaluer présentent ce caractère commun , que leur expression analytique est le produit d’une fonction d’une variable par l’accroisse-

ment infiniment petit que prend cette variable quand on. passe d’un élément au suivant. Commençons par recon> naître ce point important.

301. Quand nous avons voulu déterminer l'aire d'une courbe, plane, nous avons employé un premier mode de décomposition par des parallèles infiniment voisines; et au lieu des segments eux-mêmes compris entre deux parallèles consécutives, nous avons considéré les parallélogrammes intérieurs ou extérieurs, qui en diffèrent d’une quantité infiniment petite par rapport à.ces segments. Pour avoir l'expression générale de ces parallélogrammes, prenons un axe des x perpendiculaire aux sécantes et un axe des y parallèle; lPexpression de la corde qui est le côté fini du parallélogramme rectangle est: une fonction de x donnée par la nature du contour. Si on la ‘représente par F (x), et quon désigne par Ax la différence des x correspondanis à deux parallèles consécutives, l'aire cherchée sera la limite de la somme des valeurs que prendra F (x) Ax lorsque x prendra successivement toutes les valeurs, à partir d'une première qui est donnée, croissant par intervalles A x, égaux ou inégaux, mais indéfiniment décroissants, jusqu à ce-que l’on par= vienne à la valeur de x, qui termine la surface à évaluer. |

Cette surface a donc pour expression analytique

lim. SF(x)Az

dans le sens qui vient d’ètre développé. |

Passons à un autre mode de décomposition des. aires, et considérons-les comme décomposées par des droites partant d’un même point et faisant entre elles des angles infiniment petits. La question revient alors à trouver la limite d’une somme de secteurs circulaires ayant pour rayons les rayons vecteurs de la courbe, et pour angle

DES LIMITES DE SOMMES. 4 1 (e) au centre les différences des valeurs successives de l’angle du rayon vecteur avec l’axe fixe.

Désignant cet angle par6, et par r le rayon vecteur qui est une fonction donnée de 9, il s’agira de calculer la valeur de

a ; r° lim, Ÿ= A6, ou ,en représentant par F (8), la valeur de ‘dd 2

lim. Ÿ F (9) 40;

on en revient donc encore au même problème d'analyse.

On reconnaîtra facilement qu’on est ramené à ce même problème pour la cubature des solides, la rectificaüon des courbes, la quadrature des surfaces courbes, et les autres limites de sommes que nous avons considérées.

Occupons-nous donc de ce problème unique d’analyse auquel nous conduisent toutes ces recherches de limites de sommes.

Soit F (x) une fonction qaelconque de x contenue entre deux limites x, et X; et démonirons d’abord qu’il

existe une limite déterminée pour la somme > F'(x) Ax

lorsque l’on prend successivement pour x les valeurs depuis x, jusqu à X, croissant par intervalles égaux ou inégaux , désignés par À x.

Il sufht pour cela de concevoir une courbe ayant pour

équation y — Hêr DE: F (x) Ax sera la somme de rec-

tangles intérieurs ou extérieurs que nous avons démontré avoir pour limite l’aire de la courbe entre les ordonnées correspondantes aux abscisses x, X. Il est donc certain

que, quel que soit F (x), l'expression >? F(x) Ax a une limite déterminée , indépendante des grandeurs relatives des accroïssements infiniment petits.

Nous représenterons cette limite de la manière suivante :

[ F(x)dx,