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et nous lui donnerons le nom d’intégrale de F (x) dx entre les limites x,, X.

Identité du problème des limites de sommes avec le problème inverse du calcul différentiel.

302. Remarquons maintenant que si, laissant x, constant, nous regardons X comme variable, l’intégrale, ou l'aire qui la représente, sera une fonction de cette valeur extrême X, que nous remplacerons par la lettre x. Oril est facilede voir que la dérivée de cette fonction sera F (x). Car si l’on augmente x de Ax, l'aire augmentera d’une quantité dont le rapportavec le rectangle F (x) Ax a pour limite l’unité, quand A x tend vers zéro; la limite du rapport de l'accroissement de l'aire ou de l'intégrale à l'accroissement de la variable x ne sera donc pas altérée en substituant F (x) Ax à l'accroissement exact de cette intégrale, et par conséquent sa dérivée sera F (x).

D'où résulte cette proposition impèrtante :

. TX L'intégrale ji F (x) dx prise depuis une valeur con- To

stante X, jusqu'à une valeur indéterminée x est une fonction dont la dérivée, par rapport à x, est F(x}ho8 dont la différentielle est F (x) dx.

Le problème qui a pour objet la détermination des limites de sommes d'infiniment petits dont on donne la forme générale F (x) dx, est donc renfermé dans celui qui a pour objet de remonter de la dérivée, ou de la différentielle d’une fonction , à cette fonction. Ce dermier problème est l'inverse de celui du calcul des dérivées , où des différentielles des fonctions; et il est prouvé par ce qui précède qu'il a toujours une solution, puisqu'il renferme celle du problème des limites de sommes, dont nous avons démontré l'existence.

Il nous reste donc à chercher des règles générales pour remonter des dérivées aux fonctions.

303. Mais nous ferons d’abord une observation importante. Si l’on connaît une solution de cette question, c'est-à-dire une fonction ayant pour dérivée la fonction donnée, on en aura une plus générale en lui ajoutant une constante arbitraire, c’est-à-dire une quantité indépendante de la variable dont il s’agit; car la dérivée ne sera pas changée par cette addition, puisque la dérivée d’une constante est nulle. Et il y a plus: il n'existe pas d'autres solutions que celles que l’on obtient ainsi; car on ne peut ajouter à la première fonction qu'une quantité qui ne change pas la dérivée, et, par conséquent , dont la dérivée soit nulle d'elle-même. Or nous avons vu (n°194) qu'il n'y avait qu'une quantité indépendante de la variable qui pût avoir sa dérivée nulle pour toute valeur de la variable. D'où résulte cette importante proportion :

Lorsque l'on aura trouvé une fonction particulière de x dont la dérivée par rapport à x sera la fonction donnée, on aura la fonction la plus générale qui satisfasse à cette méme condition , en ajoutant à la première une constante arbitraire.

Cette intégrale générale s'écrit de l’une des deux manières suivantes :

frtaæ+c, ou fred