Détermination de la constante. Nous avons dit

que la limite de la somme pu F(zx) Ax, ou l’intégrale

à F(x) dx, était une fonction de x ayant pour dérivée vx,

EF(x). Soit o (x) une fonction particulière trouvée par

un moyen quelconque, et satisfaisant à cette condition ; la fonction la plus générale qui y satisfera sera, par ce qui précède,

LA

c désignant une constante arbitraire. Done |. E (x) dx

To

est compr is dans l'expression générale o (x) + c. et il ne s’agit plus que de fixer la valeur qu’il faut donner à l'indéterminée c pour obtenir l'intégrale cherchée, qui est complétement déterminée. Posons donc

jèr (x)dx = g{x)+e,

et donnons à x une valeur particulière quelconque ; les deux membres devant être toujours égaux, on en déduira la valeur de 6, si celle du premier membre est connue. La plus simple de toutes'les valeurs de x à choisir est x, qui annule évidemment le premier membre, d ri sa signification même; et il en résultera

SEE d'où c——#p(x)

[ F(x) dx = p(x) —o(x

et par suite

Cette formule exprime que l'intégrale est l’accroisse= ment que prend une fonction (x) ayant pour différenielle F(x) dx, lorsque l’on passe de la valeur xy à 1m valeur x de la variable. Et c’est ce qu'il est facile de reconnaître directement : en eftet, l'accroissement fini d'une fonction est égal à la somme des accroissements infinis ment petits qu’elle prend successivement, quand on fait passer la variable de la première valeur à la dernière par degrés indéfiniment décroissants. Or cette somme “est égale à la limite de celle des différentielles de la fonction, qui ne différent des accroissements mêmes que de quan

tités infiniment petites par rapport à eux : elle est donc égale à la limite de > F(x) dx. D'où il suit que pour connaître ceîte dernière ; il suffit de chercher une fonction ayant pour différentielle F (x) dx, ou pour dérivée F(x}, et de prendre l'accroissement qu'elle subit lorsqu'on fait passer la variable de x, à x. Ce qui conduit à la formule précédente.

305. Remarque. — Toutes les fois que l’on a à calculer une grandeur, on peut ramener le problème à la recherche d’une fonction, lors même que la grandeur serait bien déterminée, comme par exemple le volume d’une sphère dont le rayon serait un nombre particulier. Et nonseulement parce qu'on pourrait chercher l'expression sénérale d’une sphère dont le rayon est indéterminé, expression qui sera une fonction du rayon, dans laquelle on pourra ensuite donner à ce rayon la valeur particulière en question; mais en conservant toujours cette valeur particulière, on peut chercher l'expression générale d’une partie de la sphère, déterminée par un plan perpendiculaire à un certain diamètre et qui réponde à un segment arbitraire de ce diamètre : on a ainsi une fonction de ce segment variable, et on aura le volume de la sphère en supposant ce segment égal au diamètre même. Ayant ainsi ramené les problèmes à la recherche d'une fonction, si l'on ne voit pas de moyen facile de la déterminer ellemême, on peut chercher si sa dérivée serait plus facile à connaître. S'il en est ainsi, le problème est ramené à celui dont nous nous occupons, et qui a pour objet de remonter d’une dérivée à la fonction. C’est ainsi que l’on aurait pu prendre tous les problèmes des limites de sommes que

. nous avons étudiés sous un autre point de vue qui était

pins naturel, et devait se présenter le premier.

me G0+ em