INTÉGRATION DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES IRRATIONNELLES

9317. Radicaux du second degré. — Il n'y a qu'un

très-pelit nombre de fonctions irrationnelles que l’on sache intégrer sous forme finie. Nous allons examiner celles dont l'intégration peut s'effectuer avec une cer Laine généralité.

Nous commencerons par les fonctions où la seule quantité irrationnelle est un radical du second degré, sous lequel se trouve un polynôme du second degré : a reste, ce radical peut être combiné algébriquement avec x, d’une manière quelconque.

Comme on peut faire passer hors du radical le coefficlient du terme qui renferme x?, nous pouvons représenter la différentielle proposée, par

F (x, Va + bx Fa x!) dx.

Pour intégrer cette expression , il suffira de remplacer x par une fonction d’une autre variable telle, que les quan- “ütés x, dx et Va + bx Æ x? soient rationnelles ; car on retombera dans la théorie précédente, qui donnera Mr: le moyen d'effectuer l'intégration.

. Supposons que x? ait le signe + sous le radical. On pourra poser

Va + bx + x! = 2 + x

d’où

A Dr 2x + 2, bdx — 22dx + 2xdz + 2zdz,

RE à 4 pu 2(2— bz+a) WF 27 Ya ECG (b— 22)?

| De Lont— Lebarse deb

La différentielle proposée devient donc rationnelle par gêlie transformation. On aurait encore pu poser Va + bx + x! — Va + x; il en résulterait Ho r ne 97 Va + x2!, dx = 2dz Va + z°dr + 2 x2423,

= Pt É __ 22 Va PL FE Va — bz + Va

2 2 2 az, I — 3 (1— 2)

D ue st ve

La difiérentielle proposée devient donc encore rationbelle; mais cette transformation aurait l'inconvénient d'introduire des imaginaires si a était négatif.

On peut encore employer une troisième transformation quand les racines du trinôme a + bx + x° sont réelles ; ce qui aura toujours lieu dans le cas où la transformation précédente ne peut se faire en quantités réelles.

Soit

a+ br +ar —{(x—a)(x —86),

a et 6 étant réels; posons

We br ta — (x a}z, on en tirera

D—6—(x—a)z, dr —3 dx + 2{x — x)zdz,

a — ? ———— EE — TRS me PAR SORES To? (1 — 73} AR (6 ea

Va + bx + ee Se ee

Dans le cas où x? serait aflecté du signe — sous le radical, on ne pourrait employer la première de ces trois transformations. On pourrait employer la seconde si a était positif. Enfin , si a était négatif, les racines du trinôme a + bx — x? seraient réelles, sans quoi le radi=

cal Va + bx — x° serait toujours imaginaire ; alors on emploierait la troisième transformation qui n’exige que la réalité des racines du trinôme.

318. On pourrait encore rendre rationnelle une fonttion algébrique qui renfermerait deux radicaux de là forme

Va+x, Ve + x;

pour cela on poserait,

Va LEZ,

ra, dx = 2442, Nb F4 V2 + D a.

Substituant ces valeurs dans la fonction différentielles donnée , elle ne renfermera qu’un seul radical du second

degré qui affectera une expression du second degré en°z On retombe ainsi dans le cas précédent.