DIFFÉRENTIELLES BINOMES

324. On désigne sous ce nom les expressions de la forme a" (a+ bx")r dx.

On peut toujours supposer m et n entiers; car s'ils étaient fractionnaires , la transformation indiquée dans le

numéro précédent ramènerait à une expression semblable où les exposants de la variable seraient entiers. L'expo sant p est fractionnaire; çar s’il était entier, on développe rait la puissance de a + bx", et l’on aurait à intégrer un nombre fini de monômes. Les signes de ces troïs exposants. sont arbitraires ; mais on peut toujours supposer 7 positif: en effet, s’il était négatif, on pourrait multiplier le bi: nôme a + bx" par x” et ajouter 2p à l’exposant de x, qui pourrait alors devenir fractionnaire, mais que l’on rendrait entier par la transformation déjà indiquée. On peut donc toujours supposer 2 et n entiers et z positif.

Nous emploierons’d'abord la méthode de substitution, et nous poserons @ + bx"= z, d'où

— 1 D LAN nr y 2294 Ave ( b | , dx ee pe (x) dz,

et, par suite,

LES ES | ; À I Z— à n x"(a + bat ÿP dx = — 7 | ——— dz.

( ) nb b m + À A Re Donc s est un nombre entier positif ou négatif;

l'expression en z n’aura plus d’irrationnel que le mo-

nôme Z?, et on la rendra rationnelle par le procédé in-

diqué dans le numéro précédent. Si, par exemple, on a F . = ‘ «

p —==+ on posera z — {!, ce qui revient à faire d’abord

a OL T1.

L'intégrabilité de la différentielle proposée est donc

Hd I I :

assurée quand —— est un nombre entier, quelles que

soient d’ailleurs les deux quantités mn et n.

329. On peut arriver à un autre cas d’intégrabilité en mettant la différentielle donnée sous la forme

HrNefar? 2 b}P dx.

En effet, si l’on applique la condition qui vient d’être trouvée en général, on trouve qu’on pourra l'intégrer si M + np +1 ; A USE :

ee — est un nombre entier, ou si —— RW L 7t

entier; condition qui pourra quelquefois être remplie

+ p est

quand la première ne le sera pas.

326. On peut appliquer l'intégration par parties à la même différentielle x” (a + bx")? dx, en considérant "7! (a + bx")}? dx comme une différentielle exacte, dont l'intégrale est

moe ea

On obtiendra ainsi

Janta ver yrar = am—n+i æn—1 (a + bxr )P dx

Lampe: (a + ban pti M—n+I nb (p + 1) nb(p+1), Mais

xm—n (a + bxn ) Pt dx.

ÆUTe (a + brr Ph = gamin (a + ba")? + ban (a + bx")P I. : 29

donc, en substituant, on aura ÿ

amn+i (a + brn)P+1 (PF)

[= (a + bxr) P dx —

{m—n+1)a pa à M—n-+ 1 2:

HT) x (a + bx JP TER xm (a + bx") dx.

Si l’on réduit le dernier terme de cette équation avec l'expression semblable qui se trouve dans le premier membre, on obtiendra la formule

» : Mm—n+ 1! ni ï 2" (a + br" )P dx — 2e AU RUSS ) b{m + np +1)

(m—n+i)a die : m--n n P d ÿ b(n + rp+1) a" (a + ba") [x

On est ainsi ramené à intégrer une diflérenuelle du mème genre que la première, et qui n'en diffère qu’en ce que l'exposant m1 est changé en m— n.

1°. Supposons que m soit positif et plus grand que”. En traitant cette nouvelle différentielle de la même manière que la précédente, on diminuera encore de 7 lex posant de x; et en continuant aïnsi, l’on sera ramené; après un nombre À d’intégrations, à la différentielle x" (a + bx")? dx, et Von effectuerait immédiatement Pintégration si l’on avait

m—RN—NR—I1, Où " mt De du D

Ce procédé conduira donc à l'intégrale cherchée toutes les fois que m + r sera divisible par ». C’est le premier cas d'intégrabilité que nous avions reconnu.

2°, Si m était négatif, la formule (1) ramèneraitl: différentielle proposée à une autre moins simple, puisque l'exposant du facteur monôme y aurait une valeur numériquement plus grande. Mais si lon tire de cette même équation la valeur de la seconde intégrale en fonction de

la première, on aura une formule qui, dans le cas de l'exposant négatif, ramènera l'intégration proposée à une plus simple. Si en même temps on change m—n en — m, On aura la formule suivante :

4 anti + br? )\P+1

M re (m—1)a

b(m—np—n—:1)

— an (a + ba")? dx.

Aù moyen de cette formule on abaïssera l’exposant — mm, puisqu'on le ramène à — m + n, et que 7 peut toujours être supposé positif. En continuant ainsi, l'on arrivera à lPexposant — m + Àn; et l’on pourra intégrer si l’on a

— IN +- 1 — M+én=n—I1, où —

EL

tr —$#.

Cette condition ramène encore au premier cas d’intégra- Dilité.

Lorsque la différentielle ne rentre pas dans ce cas, les formules (1) et (2) ramènent toujours l’exposant m à une valeur positive plus petite que ».

Les formules (1) et (2) ne peuvent être employées, la première lorsque l’on a m + np + 1 — 0, la seconde lorsque m=— 1, parce qu'alors l'intégrale cherchée disparait, et l'équation qui subsiste ne peut plus, par conséquent, en donner la valeur. Mais dans chacun de ces cas, l’une des conditions d’intégrabilité est satisfaite , et la différentielle devient rationnelle par la substitution que nous avons faite en premier lieu.

327. La manière dont nous avons fait usage de l’intégration par parties avait pour objet de réduire l’exposant de x en dehors de la parenthèse. Mais on pourrait

la diriger de manière à réduire l’exposant du binôme

(a + bx"). | En effet, si l’on considère x" dx comme différentielle,

on irouvera

a+ (a + bæx")P

Te me

fente + ba")? dx.

fe (a + ba")? dx — npb mn +1!

Dans cette dernière intégrale on peut abaisser l’exposant m + n sans changer l’exposant p — 1, par le procédé employé dans le n° 326 , et l’on obtiendra ainsi

o V7 mn Lu D Bee) de PURES