M HONDA

a BR 0 2 fer (a + ba" )P—! dx.

nie à mu 2) ei eo

Cette formule deviendrait illusoire dans le cas déjà exa= miné, où l’on aurait

m + MD DL =I0:

En appliquant le même calcul à la différentielle m (a + br" me 2

on abaïssera d'autant d'unités que l’on voudra l’exposant de (a+ bx"), dans le cas où p sera positif, et l’on pars viendra à un exposant compris entre o et 1. Celui du facteur x” est resté le même; mais on pourra le réduire ensuite comme on l’a indiqué précédemment : et si la différentielle ne devient pas intégrable, elle sera du moins simplifiée le plus possible. | | Si p est négatif, on tirera de l’équation (3) la valeurde la dernière intégrale, qui se trouvera ramenée à une plus simple. Changeant p en — p, pour expliciter son signe;

puis mettant p au lieu de p +1, on obtient

ai ; bzx!\-P+ a fe (a + bte gt (a + bar) Pr" an(p —1)

#1 Dore Fe pet 1) IEC + ba") Paz.

an {p —1) Cette formule ne deviendra illusoire que dans le cas où p=1. Mais alors la différentielle proposée est rationnelle, à moins que m ne soit fractionnaire; et, dans ce cas, on emploierait une transformation déjà indiquée. Au moyen de la formule (4), l’exposant négatif — p peut être successivement augmenté d'autant d'unités que l’on voudra , et sera ramené à être compris entre 0 et +1. On pourra ensuite réduire l’exposant de x" sans changer

celui qui affectera le binôme {4 + bx").

326. Prenons d’abord pour exemple la diflérenuelle æ" dx , à » À , dans laquelle "2 désigne un nombre entier po- 1 — x?

siuf. Elle est toujours intégrable; car on a

« mi Donc si

2 7. 0 n'est pas entier, sera, Si on

Jui applique la formule (1 (1), ou si on l’intègre directement par parties, on trouvera

xrdr *' Lg Ÿ Le) m4 AT de a ——— —— —— a 20 AT CERE aenS —- | Vi — x! m m Vi Ts L exposant m1 étant ainsi abaïissé de deux unités, on arrivera, en continuant d'appliquer le même procédé, à

* 6 xdx dx k Pune des deux expressions [ Fe suivant

, / $ VRees di Ver

454 LIVRE II. Va que 7n sera impair ou pair; la première a pour intégrale — Vi x?; et la seconde, are sin x.

On parvient ainsi à la formule suivante, dans le cas de m impair,

M—r (rm — 1) (m — 3)

M—1 : m—3 D axm-—5 D.

xm dx Vi — x : im aou Ram ri Vis sg Le Lt (m—3)..

MICEPICENE On trouverait, dans le cas de rm pair, D cn # ya [ee + né SRE 2. PE 1) M] Vi mn mi — 2 ae (m— 4}, 9 (m—1)(m—3)..

arc sin C.