CHAPITRE VI

INTÉGRATION DES FONCTIONS EXPONENTIELLES, LOGARITHMIQUES, ET CIRCULAIRES.

330. Si l’on sait intégrer la différentielle F (x) dx, on saura aussi intégrer les suivantes, par une simple substi-

tution :

d. ; F(e’)er dx, F(læ) — F (sin +) cos xdx,

à x (4 F(cosx)sinxdx, F(arcsinx) AS ER

Vi — x

dx

F(arccosx)

F t nee (arc tang x) Le

On voit de même que si F désigne une fonction algébrique , on rendra algébriques les différentielles

F(e)dx, F(sinx, cosx) dx, F(sinx, sin2x,...,cosx, cos2x,...)dx, en posant respectivement € —Z, SiNnr—Zz, OU COST — z.

391. Soit maintenant la différentielle Pz" dx, dans laquelle z désigne une fonction transcendante.

Si l’on pose

lz + HR frac IRECER fRÉd=s,….

et que l'on puisse obtenir les fonctions désignées par

458 LIVRE Il.

Q,R,S, etc., l'intégration par parties fera connaître A Ed 7 En effet, on aura

| d ford = Qx—» fQ2"— = du, dz dz A1 2 dx — n—\ ren 12 22,1.

fe Te x Rz (n 1 fre Te 42

et ainsi de suite. Donc

J'Pz dx = Q2— nRa + n(n—1)Sz—

332. Si l’on suppose P—1ret que l’on fasse successivement z = 1x, 3 — arc sinx, ou trouvera

J'irdx = x{[lrx— ni zpn(n —1)lt=2x — Hu (n—1)...2.1]+0C, Lnvi=e __A(n—i)x : arc sin x arc sin x)°

ftare sin x)" dr = > d (are sinx)" + C.

- ER 0e (arc sin x }

Si l’on suppose P = x"-t et z— 1x, on aura

font: leds eg Jess UN E 4 | m m nm me"

Si, dans la première et la dernière de ces trois formules, on pose Lx — z, elles deviennent

J ses dx —ezf[zn — nzn-: +n(n—i1)2-2— .,.. En(n— 1).…..22100 SR ex En Re: ri), DCR +C; a a a° an

si, dans la seconde, on pose arc sinx = z, d’où

TN; dr COS elle devient

Ja" coszdz = sinz[z"— # (72 — 1)3"—? +, ..] + Ccosz[nz" tt — nfn— 1)(n — 02) 28 +, . JC:

On peut d’ailleurs obtenir directement ces trois dernières

DES LIMITES DE SOMMES. 459 formules, et en déduire réciproquemeut les trois premières. |