Considérons maintenant les différentielles de la forme

sin”x cos" rdx.

Si l’on pose sin x — z, d’où cosxdx = dz, on obtient

ne. 1}

z"(1— 3) 2 dz.

Elle rentre ainsi dans les différentielles binômes, et sera . , | m + 1 . ; « .

intégrable lorsque —;—— sera entier, c est-à-dire lorsque

m sera un nombre entier impair, ou lorsque » sera un nombre entier impair, ou lorsque m + n sera un nombre entier pair. On aurait pu poser cosx = z, et la diflérentielle serait devenue

—z"(1 — 3) 2 dz,

d’où l’on aurait tiré les mêmes conséquences.

3906. Au lieu d'employer ces transformations, on peut traiter directement la diflérentielle proposée, au moyen de l'intégration par parties. On trouvera ainsi

; sinm+ti x COS"! x n— 1 " (a) J'sin”x cos" xdx = + —— | sinrt2cos"-1rd7 m +) m— 1

Or fsin"#?x cos"+*’xdx — [(sin"x cos"—?x) (1 — cos?x) dx

= fsin"x cos"—’xdx — fsin" dx cos" xdæs substituant et réduisant, 1l vient

sinr+t x Cos!—1 x n—)

(2) {| sin” x cos" xdx — sin” x cos"? rdx,

nm+Nn m' +1

Donc, si n est positif, cette formule l’abaisse de deux unités, sans changer »1; excepté toutefois le cas où M + nn —0,que nous examinerons plus tard.

En supposant que ce cas ne se présente pas jusqu à la

fin du caleul , et en continuant de diminuer l’exposant de cosæ, on le ramènera à o ou 1 s’il estentier.

337. En dirigeant autrement l'intégration par parties, on abaïssera successivement l’exposant de sinx. En eflet,

on a js cost+'xsinm-ix mM—I ; (3) SIN? x COST xx = + —— sin” -2 x cos" +? rdx. n 4 n+I Or

fsinm-2x cos"*?xdx — [ (sin"—?x cos" x)(1—sin?x) dr = f'sin"—? x cos" xdx — f'sin” x cos"xdr.

Substituant dans la précédente, et réduisant , il vient

. sin”—tx cost x m—I ; (4) | sinmx cos" xdr= — + ——— |sin?-2x cos" xdx. m+n m+n

Si donc on excepte encore le cas de m + n — 0, on abaissera l’exposant de sin x d’un nombre pair quelconque, et, s’il est entier, on parviendra à le réduire à zéro ou à l'unité sans que l’exposant de cosx ait changé. S’ils sont tous deux entiers, on les réduira successivement l’un et l'autre, autant que possible, sans les rendre négaüfs, et il restera à intégrer une des expressions suivantes :

Jadx, fcosxdx, fsinxdx, fsinx cosxdx,

que nous considérerons tout à l'heure.

338. Supposons maintenant que /n étant positif, 72 soit négatif et remplacé par — #7; la formule (2) donnera

sin”x sin”“+! x n + sin” x