À —— AY

cos” x (m— n)cos"*'x m—n ] cos"+?x L’exposant des cos x se trouvant élevé de deux unités, on tirera la valeur de l’intégrale qui est dans le second mem-

462 LIVRE JL,

bre, et l’on trouvera, en changeant 7+ 2 en n,

sin” x sin”"+'x n—m—2 f°sn"r (5) GE MUR à à Li. dx.

cos" æ (nr —4) cos x n— I cos Te

Cette formule ne peut être appliquée dans le cas den = 1. Si en même temps m est entier, on l’abaissera au moyen de la formule (4), et l’on parviendra à

sin æ dx dx, ou - COS æ cos æ

expressions que nous intégrerons tout à l'heure.

339. Si, au contraire, 2 est positif et 7 négatif, rene plaçons-le par — rn dans la formule (4), elle devient

cos" x cos "tx m + LACS ZT

= dx ns ET Dern 1 Te dx.

sin” .c (m—n)sin"+'x m—n.)sn”"#"?x L’exposant de sin x étant augmenté de deux unités, on ürera la valeur de l’intégrale du second membre, et Pon

aura, en remplaçant nm + 2 par m,

COS" T cos "+! x M. 1,2 [\f. COS (GLS TE RER dæ.

sin "x (m—1)sin"—"'zx m — 1 sin 7e Cette formule ne peut être appliquée si m1; mais alors, en abaïssant l’exposant de cosx, on arrivera, s’il est encos x {Los

tier, à l’une des expressions | -— dx, ou | — sin x 22 sin æ

9340. Supposons enfin que "» et n soient négatifs tous les deux , et remplacons-les par — "2 et — n. La formule (2) deviendra

dx —"1 n +1 dx à ————— Ù——© À J Sinmzx costx ((mæ+n)sin"—1zx cos"+t x: » 174170, ,//NSin "2 COS

ou, en ürant la valeur de la seconde intégrale, etchan-:

geant 72 + 2 en 71,

dx I M+n—92 dx rm - a —— RARE Pr 0 Ah M (7) sinæcos"x (n— 1)sin"-!xcos"—'x ER : sin”x COS" —°x

On tirera semblablement de la formule (4)

dx 5% 1 Mm+ I dx (x costx (m—n)sinmtixrçcos"-1xr m+n ,.) sin*+? x cos" x Tirant de là la valeur de la dernière intégrale, et rem-

plaçant » + 2 par mn, il vient

d — 1 M +1 — 2 dx

sinxcos"x (m—1)sin"-1xcos"-1x m— 1 in”i—2x COS" x

Au moyen des formules (7) et (8) on diminuera du plus grand nombre pair possible les exposants de sin x et cos x. Il n’y aura d'exception que pour le cas de m — 1 ou % — 1, et alors on parvient, en supposant 71 et » entiers , à l’une des expressions suivantes :

dx dx dx . > 9 NT DIT Un sin x COS Z Sin Æ COS