INTÉGRATION PAR SÉRIES

345. Lorsqu'on ne peut intégrer exactement une difrentielle F (x) dx, on peut se proposer de développer son intégrale en séries: et pour cela on développera d’abord Ja fonction F (x). Soit donc (1) F(a)=u+u + u+ss + uns et admettons que cette série soit convergente, sans quoi elle ne pourrait remplacer aucune fonction.

Soient 5, la somme des termes jusqu’à u, inclusivement, et r, le reste de la série, qui tend vers zéro à mesure que n augmente. On aura

F(x) =, Pire Intégrons les deux membres de cetie équation entre deux valeurs quelconques x, et X, nous aurons

b, X X é j} F(x)dx ce $, dx nl ra da; x æS x

et puisque r, tend vers zéro, [ r, dx iend aussi vers T, l

zéro ; donc x x x X (2) " F(æ)de = im f° $, dr = f u, dx + É u, dx +..., x, TT, AE + EE 7 ou, en remplaçant X par x,

LC 77 4 rod Ur +...

T er

DES LIMITES DE SOMMES. 469 l'équation subsistera évidemment en prenant les intégrales indéfinies

HE (x) dr cf He dr Te

346. Si la série (1) n était pas convergente, pour la limite X, on pourrait craindre que la formule (2) ne füt inexacte; mais nous allons voir qu’elle subsiste encore, pourvu qu'elle soit convergente. En effet, elle est démontrée pour toute valeur de x comprise entre x, et X; c’està-dire que l’on a pour ces valeurs

TX É LC si F(x)dx | Ur + 2. + [ Un AT = TX L UT,

Or la limite de la somme des termes du second membre est une fonction déterminée de x, puisque la série des intégralés est supposée convergente, même pour la valeur X. Si done on fait tendre x vers X , les deux membres de Péquation tendront chacun vers une limite, et ces limites ne peuvent être inégales. Donc

X de à X J Mr — W UAX + | 1 dre T Y T,

La même démonstration se ferait pour la limite x,, et mème pour toute valeur intermédiaire, pour laquelle la série (1) cesserait d’être convergente , sans que la série des intégrales cessàt de l’être.

341. La fonction F (x) peut quelquefois être développée de bien des manières différentes en séries convergentes : on choisira celle qui conviendra le mieux à la question. Si on la développe suivant la formule de Maclaurin , on aura

(x) —= F(o)-+ F' (Oo )x + F" (0) = .# Fr(0)-

470 LIVRE IIL.

et, par suite, am+t (nm) ©

Ru den ee -

G) frac +F(o)e + (0) À PAS

Il est facile de reconnaître que ce Cr ee n'est autre chose que le développement de fF (x) dx, d’après la formule de Maclaurin : € représente la valeur arbitraire de cette fonction pour x = 0.

Si l’on veut connaître l'erreur commise en s’arrêtant

h ss x” à à un terme quelconque EF”! (o)- ET dans la sé- À ar rie (3), il suflira de multiplier - a ——— M la dé- .2...(7 +1

rivée de l'ordre (n + 1) de ja Pet (x) dx, en donnant à x dans cette dérivée une valeur 0x intermédiaire entre o et x. C’est la règle connue dans le cas de la formule de Maclaurin, dont l'équation (3) est l'applica= tion à la fonction f F (x) dx. Si donc on désigne par À la plus grande valeur de F'" (x) quand x passe de o à >, l'erreur commise en s’arrêtant au terme qui renferme #* ART PER MF ETS 348. On pourrait développer la fonction f F (x) dx

par la formule de Bernoulli, qui donne pour une fonetion

sera moindre que

quelconque y, dy PL 42 Œy dx 1-24 1.21% da A:

Yo étant la valeur de y correspondant à x — 0. Si lon

suppose Fe L'ÉLGQHIEE et, 1720 on aura à

| L T° Fix)dæ=C<+zFEF (rx) — x :

(4) fete) < (z 12 RES On obtiendrait cette même formule en intégrant par parties la différentielle F (x) 4x. En eflet, on aura suecessis

vementi :

EE xF'(x)dx, De, x?

LA S CN" | frere free x” 7 A x if date x° F” dt) Î= e Pre HET TE ag fers Gr) j

Si, en continuant indéfiniment ces intégrations, la der-

nière intégrale tend vers zéro, on aura, en faisant les substitutions et ajoutant la constante arbitraire,

(x) … pe (x)—. DE

ce qui n’est autre chose que la formule (4).

[ F(a)dr = C+ 2 (x) —

LA

349. Lorsque la fonction F{x) est le produit de plusieurs facteurs , on peut se borner à développer l’un d'eux en série, pourvu que les autres facteurs multipliés par les divers termes de cette série donnent des produits intégrables.

Soit, par exemple, la différentielle

dx Var — 2 Vi— 6x

qui se rencontre dans le calcul du mouvement du pen -

dule. On peut développer (1— bx) * si l’on suppose bx < 1, abstraction faite des signes, et l’on aura

ol I son El. Aura 0 (= bx) * =: Harris x°+- RARE DE Substituant ce développement dans la différentielle pro-

posée , on aura à intégrer des termes de la forme

And PE EE — ?

V ax — x?

expression que nous avons intégrée dans la théorie des différentielles binômes.

300. L'intégration par séries peut servir à faire connaître les développements des fonctions dont on sait dévélopper les dérivées.

Ainsi, par exemple , la dérivée de arc sin x est 1. — 4% dont le développement est

1 pi LR E du 3 RIT EE 2.47 2

donc

arcsnz=C+zx+

Mais il faut remarquer que le radical ayant été pris positivement , on suppose que l’are et le sinus varient dans le | même sens. La formule ne s'applique donc pas aux arcs

compris entre — et r, mais elle convient aux arcs com- ; T j à \

pris entre O et + *. elle conviendrait de même aux arcs

T - LA A L2 L L entre O et — =" Elle doit, par conséquent, être satisfaite

quand on y fait x — 0, et, par suite, C doit être nul, on a donc

Hg 19 TND arcSUTE= RIT re Er TITI eue Elle T24 5 734.640 Ï Le développement de Ne n'est plus convergent pour 1 — x

x = 1; Mais, Comme a série des intégrales ne cesse pas de l’être, la formule précédente représente arc sin æ, mème lorsque x sn fa peur cette valeur particulière,