X. X [ D D Rex ed) j. Had

0 To

399. Si l’on renverse les limites d’une intégrale définie, on ne fait que changer son signe; car les accroissements de x changent de signe, et les valeurs absolues des éléments différentiels ne changent pas. On à donc

id raæz- fre r)dr,

ce qui s'accorde avec l'expression de l'intégrale définie au moyen de la fonction o (x) dont la dérivée est F (x). En effet, on a

[ Bir)dr =v(X) — (2%),

Expressions égales et de signes contraires.

j RRks us .

} à 396. On peut changer l'intégrale | EF (x) dx dans la To suivante :

2 | » F(X+x—x)dx,

dont les limites sont les mêmes. En effet, les éléments qui les composent l’une et l’autre sont les mêmes en ordre inverse. En partant de cette remarque, qui est quelquefoïis utile, on peut, par une suite d’intégrations par parties, obtenir très-simplement la série de Taylor, comme on va Île voir.

307. Série de Taylor. — Soit F (x) une fonction quelconque qui reste continue, ainsi que ses 7 premières

dérivées, entre les limites x et x -+ h. On a évidemment

k x +h)=F(e)= f F'{x +2) dz;

et, d'après ce qui vient d’être dit,

h h h Pr+s)d= f F'(x+h—2)d2:

x est constant dans cette intégration, z seul varie. Intégrant par parties cette dernière expression et celles qui s’en déduisent, il vient JE'(x+h— 2) dz = 2F' (x+h—3)+f2F"(x+h — 2)dz

= 5F (@+h—e) + F(x+h + [Er e+i- pd.

2 TRE Ms 7 «#3 = (x +4 RER FA 2) +. Sn RENTE

gn—t RE TE (eh Led

Fr—1(x+h—5)

Si l’on prend les intégrales entre les limites o et A, il

EN CORAN RER RE AT EC M LR 08 ' MERE PRE D LAS ut

DES LIMITES DE SOMMES. 481 dede faire successivement z — À, z — 0 dans les termes en dehors du signe f', puis retrancher le dernier résultat du premier, ce qui donnera

: h? hn—x IN USE F'(x)+...+ A NO) Fr-1 (x) ok h 25 +) 150 le 1.2 tre np etes Mais h Ba) —F(2)= f F'(x+h—7)d; done M D AO AG) PT pu fe)

, h RE — nr Kn(y hi dz.

bre | x Fr(x+h— 3)ds

Lorsque le terme qui renferme l'intégrale définie tend vers zéro à mesure que z augmente, la série converge vers F (x + k), et devient celle que Taylor a fait connaître.

On peut donner une autre forme au terme qui exprime lérreur commise, en s’arrêtant au terme de rang ». En effet, l'intégrale définie est égale à la somme des facteurs 245) dz, multipliée par une valeur moyenne entre la plus petite et la plus grande de celles que prend F°(x+h— 2) quand z passe de’o à L; et comme cette fonction est supposée continue dans cet intervalle, cette moyenne est l'une des valeurs que prend F” (x + — 2), pour une certaine valeur de z comprise entre o et À : d’où résulte aussi pour À — z une valeur comprise entre o et h, que nous représenterons par 8h. Le terme qui complète le développement devient donc

Fr(x+04) ff} 2"

28 dz, Où — Le. (r=1)J MR CA