I. ST
C’est sous cette forme que nous l’avons présentée dans le » Calcul différentiel : 9 est une fonction inconnue de x, et l'on sait seulement qu’elle a une valeur positive plus petite que l'unité.
En prenant la plus petite et la plus grande des valeurs de F" (x) dans l'intervalle de x à x + h, on aura deux limites entre ERquenes sera comprise l'erreur commise en s’arrêtant après le 7°"° terme. L'intégrale définie donne la valeur exacte de cette erreur; maïs elle présente la difficulté de l'intégration , et l’on ne peut généralement se proposer que de la renfermer entre deux limites connues.
Différentiation et intégration sous le signe Jr
338. Nous avons fait connaitre, au commencement de ce Cours, les règles pour différentier les fonctions expli cites, ainsi que celles qui sont liées entre elles et avec la variable principale par des équations dont les deux membres sont des fonctions explicites. Nous allons considérer une autre espèce de fonction et donner le moyen de la
diflérentier.
Soit la fonction u — LE (z, x) dz que l’on se pro- |
pose de différentier par rapport à x; les limites z,, Z,
pouvant être des fonctions quelconques de x. L On aura, en considérant cette intégrale comme une
fonction composée de z,, Z, x, qui sont toutes des fonc-
du __ fdu \ da du\ {du dr — da dx RE ae dx)
Or on a d'abord
tions de x,
du du DA K: dZ
ne AR AVR
NT REX du 3j ah Quant au troisième terme Ta ui est relatif à la sup-
position de z, et Z constants, il est la limite de
Z Z fres+na-f F{z, x) dz 323 Z
où 0
;) ou de | 4 PAF(z &+h)—F(z,x),
4 dF(s,x), L dx
et a pour valeur
Donc
dx
Z il dz F (z vides LEZ, x) — — F(2, x) Loue Î ; dx 4 dx
Z d F dx
On parviendrait très-simplement à la mème formule, en considérant l'intégrale définie comme représentant l'aire d'une courbe.
Si les limites sont constantes, c’est-à-dire indépendantes de x, on a
LT de ZLar (aan)
dé F{z, x) dz — PTE ET CE X z, Z 1 ax
on voit qu'alors les deux opérations de diflérentiation et
d'intégration peuvent se faire dans un ordre quelconque.
859. Si la fonction de x était une intégrale indéfinie par rapport à z, on la mettrait sous la forme
cils F(z,x) dz +C, z
C étant une fonction quelconque de x ; d'où 00e du faF(z ac er à — = (& a) ds + =— | + NN dx P dr dx
On peut donc faire, dans un ordre quelconque, les deux opérations sur F (2, x), pourvu que les constantes relatives aux deux intégrations soient liées par la condition, que la seconde soit la dérivée de la première par
rapport à x.
