Si les deux intégrales étaient indéfinies, la pre

mière serait

Z % F(z,x)dz+o(x); Zo

en l’intégrant, on trouverait

> FA F2 : & frene+/(e f y(æx) dx,

ot Ru DS ++

ce qu'on peut mettre sous la forme

| "| de [UF (a, 2) ds 4 f(5)+ (a),

et lon trouverait un résultat identique en intégrant en ordre inverse ; les fonctions J et.f1 pouvant toujours être regardées comme les mêmes dans les deux cas, puisqu’elles sont entièrement arbitraires.

362. Intégrales définies singulières. — M. Cauchy a désigné sous ce nom, des intégrales prises entre des limites qui se rapprochent indéfiniment d’une valeur particulière de la variable, qui rend la fonction infinie.

Par exemple, si l’on suppose F (a) infinie, intégrale

M — PE « JL F (x) dx sera une intégrale définie singulière, si a

étend vers zéro, x étant un nombre fini quelconque. Onpeut mettre la fonction différentielle sous la forme

dx us #:

(æ— a) E (x) —-—; et st l’on désigne par Ë une valeur . SR à Ë

moyenne entre a — € et,.a — ue, l'intégrale sera égale à

; DU dr .(E——a)KF(E —, où (é—a)F{(ËE)lu.

Mn fe Ts où (EP {D 18 Si (E— a) F (£) a une limite différente de zéro quand £ tend vers a , l'intégrale définie singulière aura une valeur déterminée en même temps que w. Nous allons voir à

quoi cette considération peut être utile dans la détermination des intégrales définies.

303. Cas où la fonction sous le signe [ passe par Dinfini. — Si une valeur x = « rend F (x) infinie, et se

. . . ,. EX trouve comprise dans les limites de l'intégrale ! F{x)dx,

, ne F1 D ;

486 LIVRE JII.

F (x) dx, puis f

a+e on les ajoutera, puis on fera tendre € vers zéro : la limite est ce que M. Cauchy nomme la valeur principale de l'intégrale. On pourra avoir une valeur différente si l’on cherche la limite de la somme des deux intégrales sui-

vantes : Ÿ

a— pe B L F (x) dx, Je F (x) dx, œ a + ye

e tendant toujours vers zéro, et les nombres pu, y étant différents; car il y aurait, de plus, les deux intégrales

a — LE a + € [ F(x)dx, et 1 F(x)dx. «

Vue + vef

(l'UE

on formera d'abord /| F (x) dx:

Et si leur somme ne tend pas vers zéro avec €, on au une valeur différente de la première, que nous avons nommée valeur principale; mais il est évident que cela

[44 Û n’arrivera jamais lorsque les intégrales Le F (x) dz, 3 4 je F (x) dx seront finies. Or les deux dernières intégrales a

définies singulières ont pour limite de leur somme KI Hi

K étant la limite de (x — a) F (x) quand x tend versa, et supposée de mème signe quand x est <a, ou > (le cas contraire n'offre, au reste, rien d’embarrassant).

8 £ Si donc K n’est pas nul, l'intégrale F (x) dx est indéce

terminée; mais sa valeur principale est déterminée, soit finie, soit infinie.

Si K est nul, on ne peut pas dire que KI F soit néces s %

. LL ; [24 LI LI sairement nul, puisque = peut être infini.

ÿ (% | à À à ” DES LIMITES DE SOMMES. 487 Par exemple, si y — € 1É est infini. et la seconde inpie, ; ) y / ae .__ tégrale singulière est 1 That:

AE; ONROMC* dr y L Ainsi, |} ——1l{(1+—} etsiv—e,onalo.

| air le

tyE ,

j Éd E Mais dans cet autre exemple 7. =; on'a = 1ly,l'où : Ë

Ve VE 1, Ë étant un intermédiaire entre € et ve; de sorte que ë — Kyeet K>:1:par là VEly devient VKe Vy1». 7 dx : Nz

est nul, comme d’ailleurs on l’aurait vu en effectuant l’in-

Mais on sait queV» lv est nul pour —0o; donc

tégration.