CHAPITRE X
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES QUI RENFERMENT PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.
315. Nous n'avons considéré jusqu'ici que les différentielles qui ne renferment qu’une seule variable et qui sont, par conséquent , de la forme F (x) dx; nous allons examiner maintenant celles qui renferment plusieurs variables indépendantes, et nous proposer de déterminer, sil est possible, la fonction de ces variables qui a pour différentielle totale l'expression donnée.
Considérons d'abord deux variables x, y, et soit proposé d'intégrer l'expression
M dx + N dy, dans laquelle on à nil NE dia: TL
On observera d'abord qu'il n'existe pas toujours une fonction de x et y dont elle soit la différentielle : car, si l'on désigne par x une pareille fonction, on devra avoir
du du du d'u M — ES Gt comme |" "7"; ; dx” dy È dxdy — dydz’ il faudra ; . dM ŒN : ; | qu'on ait —— — ——. Si donc les fonctions M, N ne satisdy dx
font pas à cette identité, il n’existera aucune fonction de x et y qui ait pour différentielle l'expression donnée. Mais nous allons voir que, si cette condition est remplie, la fonction cherchée existe nécessairement, et que sa détermivation se ramène toujours à des quadratures.
498 LIVRE II. | On remarquera d’abord que cette fonction, devant avoir M pour dérivée partielle par rapport à x, doit être renfermée dans l’intégrale indéfinie de Mdx par rapport à x, y étant considérée comme une constante, Elle est donc
E + comprise dans l'expression ch Mdx + V, V étant une T, è | fonction arbitraire de y. :
Il reste à déterminer cette fonction de manière que la
dérivée partielle par rapport à y soit N. Or cette dérivée
pee &M 4 dV FN HR dv da Er PTE ou VE ke dys
ou enfin
est
Il existe donc nécessairement une fonction de x et y, dont
l'expression donnée est la différentielle: et la valeur la” P ;
plus générale de cette fonction u est
x 7, ue f o (x, ÿ) dx + fs Ÿ (toÿ 7} dy + G, - To To
C étant une constante arbitraire.
376. Il n’y a pas plus de difficulté dans le cas où le nombre des variables indépendantes est plus grand. Soit, par exemple,
M dx + N dy + P dz et M=o(x, #3), Nr; NP per
DES LIMITES DE SOMMES. 499 Il faudra d'abord que M, N, P satisfassent aux conditions indispensables dM aN dM dP 4N 4P dy de’ d1 dr’ 4 dy
Cela étant, la fonction cherchée sera nécessairement com-
prise dans la formule hs M dx + V, V étant une fonc-
tion arbitraire de y et z, qu 1 faut dtioes par la condition, que les dérivées partielles de l'expression précédente, par rapport à y et Z, soient respectivement Net P.
On aura donc
“dM, AA r AN dV | aY 5 Le ANS PES AE € He AAA =h% Ta = [° dx dy Ne Nr dy” 2 4M dY dP PAU PA” de —— ne | H mn dx - ———— — P a + ——— © PRE" buts dz 418 dx dz X (07 2) dz
Il est donc nécessaire et suffisant que la fonction V satis-
fasse aux deux conditions
FA" dV Pr RAA LT: 2),
cé qui rentre dans la question précédente. On aura donc Z M ET Ÿ (Gi Y Z dr + [ X (Go Vos 2) dz + C.
To … Zo
La fonction dont la différentielle est l’expression donnée, existe donc lorsque les trois conditions ci-dessus ont lieu; et, si on la désigne par uw, on aura
z V4 Z = nd [ Y (Lo Yo z) dy + X (Los 053) dz + C, # To Ex
C étant une constante arbitraire.
Il est facile de voir que le cas de m variables se ramène de la même manière au cas de m — 1, pourvu que les coefficients satisfassent aux conditions qui expriment que les coefficients différentiels du second ordre de la fonction cherchée, pris de toutes les manières possibles par rap port à deux variables différentes, sont indépendants de l’ordre des différentiations. Donc le problème est toujours possible lorsque ces conditions sont remplies, et il est. toujours ramené à de simples quadratures.
DES LIMITES DE SOMMES. 5où
ni CHAPITRE XI.
