SÉPARATION DES VARIABLES

311. Lorsque nous avons cherché à déterminer une fonction inconnue y, d’une variable x, connaissant sa dérivée par rapport à x, nous avons supposé que cette dérivée était exprimée au moyen de x seulement. Il est facile de ramener à ce cas celui où la dérivée serait le produit d’une fonction de x par une fonction de y. En effet, en divisant par le facteur fonction de y, on obtient une équation de la forme suivante, dans laquelle F (y) et J (x) sont des fonctions connues :

Gi) F(nT= f(x) ou | (2) F(y)dr = f(x) ax:

On dit alors que les variables x, y sont séparées.

Si maintenant on trouve une fonction F, (y) dont la dérivée par rapport à y soit F (y), et une fonction f; (x) dont la dérivée par rapport à x soit f(x), l'équation (1) nous montre que F, (y) et fi (x) auront mème dérivée par rapport à x, quelle que soit la valeur de x, etque, par conséquent, elles ne peuvent différer que par une constante ; on aura donc

C désignant une constante arbitraire. On aura donc ainsi 2 . , 4 Véquation cherchée entre x et y; et le problème est ra-

5o2 LIVRE III.

mené, comme on le voit, à celui qui a été traité précédemment et qui consiste à remonter de la dérivée d’une fonction à cette fonction.

En prenant l'équation sous la forme (2), les deux membres sont les différentielles des deux fonctions Fi (y), fi (x), relatives à des valeurs correspondantes de dx, dy. Les accroïssements finis quelconques de ces deux fonctions, en passant d'un système de valeurs de x, y à un autre quelconque, sont donc égaux, et ces fonc= tions ne peuvent différer que par une constante; ce qui ramène à l'équation (3).

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