CHAPITRE XI

APPLICATION GÉOMÉTRIQUE DES MÉTHODES D INTÉ- GRATION. QUADRATURE DES SURFACES PLANES, RECTIFICATION DES COURBES.

318. D’après ce que nous avons dit dans le premier chapitre du livre IX, l'aire comprise en tre les deux ordonnées relatives aux abscissesx,etx, peut être représentéeen coor-

Æ données rectangulaires par 1 ydx, et, en coordonnées Tr

obliques par sin o [| ydx, 0 désignant l'angledes axes. L’é- Ts

quation de la courbe donne y en fonction de x, et la quadrature de la surface en question est ramenée à une intégration. C’est pour cela que l’on désigne souvent par le mot quadrature l'opération du calcul intégral par laquelle on remonte de là différentielle d’une fonction à une seule variable, à cette fonciion mème.

Si l’aire à calculer était comprise éntre deux ordonnées et deux arcs de courbe, l’expression de sa difiérentielle serait (Y —7) dx, en désignant par Y et y les fonctions de x qui représentent l’ordonnée de chacune des deux courbes. Si la nature de l’une ou de l’autre de ces courbes changeait dans l'intervalle compris entre les limites, il faudrait partager cet intervalle en plusieurs autres , dont les limites seraient les diverses valeurs de x où s’opéraient ces changements.

Si la courbe est donnée par une équation entre des coordonnées polaires 9 et r, Paire que l’on cherche à évaluer est celle de la figure comprise entre deux rayons

vecteurs et l'arc de la courbe. Sa différentielle est, comme

nous l'avons déjà vu, r° —. Donc l’aire comprise entre.

deux rayons correspondants aux angles & , 0 aura pour

ÿ | expression + À r? 8, r désignant la fonction de 8 tirée

de l’équation de la courbe.

Si la surface à évaluer était comprise entre deux rayons vecteurs et deux courbes, sa différentielle serait

a LE fe jt ee d0, r et r” désignant les rayons vecteurs des

deux courbes, relatifs à une même valeur de 6; l'aire cher

] J (r— 7) 40, retin

chée serait donc exprimée par

étant des fonctions connues de 9, déduites des équations des deux courbes.

EXEMPLES

Paraboles. — Proposons-nous d’abord de calculer l'aire des paraboles renfermées dans l’équation géné-= rale Ni ns pr", - . ‘F m1 et n étant positifs; On aura I ri +1 — — — x"!

frs pe x"! dx — pe. Een à — + I Si l'on prend l'aire à partir de x,= 0, on aura C = 0, €t

l'aire terminée à l’ordonnée relative à une valeur quels

conque de x, aura pour expression

mpx mx) —— ÿ où — ° an + 7 nm + n

La paruc du rectangle xy qui resté, après avoir retrans

ché celle-ci, et que l’on trouverait directement en pre-

T n zx L : ed nant / xdy est 7%, done l'arc de la courbe divise le 8 m+ nr

rectangle xy dans le rapport constant de m°n.

Si l'on considère au lieu de l’origine un point (x, 6) de la courbe, les aires comprises entre les ordonnées ou les abscisses de ce point et du premier, seront les différences

de quantités ayant mème rapport — ; elles auront donc

aussi cé même rapport entre elles. D'où l’on voit que si l'on projette un arc quélconque de la courbe sur l'axe des x et sur l’axe des T, les aires comprises entre cet arc, les lignes projetantes , et l’axe perpendiculaire, sont entre elles comimne les exposants m et n.

Hyperboles. — Considérons maintenant l'équation générale y" x° = a des hyperboles qui ont pour asymptotes les axes des coordonnées ; on aura

| NE n + Fe 4 € ee a ZT 1e ydx À" J LR MONT" ce UE OO RU + C.