HD

On voit que sa valeur est finie pour & — 0, quoiqu elle s étende alors indéfiniment dans le sens des y, puisque l’axe des y est asymptote de la courbe: mais elle devient infinie en mème temps que x.

Ainsi l'aire comptée à partir d'une ordonnée arbitaire, et prolongée indéfiniment vers l'une des deux

asympiotes, est finie ou infinie, suivant que la coordonnée. comptée sur cette asymptote a le plus grand ou le plus

5 4 petit exposant dans l’équation. En cherchant — [ xdy.

on aurait l'aire comprise entre l’arc et les abscisses me- : LES 8

1 — n deux aires sont donc encore dans le rapport des exposants

nées par ses extrémités ; son expression serait

met n.

Si l’on avait n>>1n, on arriverait à la même conclu: sion. 4 Si l’on avait m—n, l'équation serait de la forme xy—p? et représenterait une hyperbole équilatère, puisque les axes sont rectangulaires. On aurait alors

Ce ; ; * dx 12 dx = p° — —=p?]-.

fire

Si l’on voulait que l'aire commençât à l'axe des y, on aurait 4 —o; ce qui fait voir que l’aire comprise entre une ordonnée quelconque et l’axe des y est infinie.

Si l’on suppose 4 —p, l'aire commencera à l’ordonnée menée par le sommet de l'hyperbole; et, si l’on prend p pour unité, son expression sera 1x. C'est cette propriété qui a fait donner aux logarithmes népériens Je nom de logarithmes hyperboliques.

Ééciproques. — Les paraboles et les hyperboles que nous venons de considérer jouissent de cette propriété commune que, si l’on projette un arc quelconque de ces courbes sur les deux axes, les aires comprises entre cet are et les coordonnées parallèles sont dans un rapport constant. Or il est facile de démontrer qu'elles sont les seules courbes qui en jouissent. En eflet, cette condition

générale est exprimée par l'équation

Fr D nr L VAL CE m [. x dy.

DES LIMITES DE SOMMES. 5o7 Le signe — du second membre se rapportant au cas où dy er dx sont de signes contraires.

Différentiant he deux membres en considérant le point æ, 6 comme immobile, et x, y comme seules variables, il vient

MO Emrdy, ou n——%tm pu

dx dy Pise . » | J et intégrant nlx = Emily +, ? ® Ce 4 en désignant par lc une constante arbitraire. Cette équation peut se mettre sous la forme x! — Ye, et représente des paraboles ou des hyperboles, suivant ? ; . 3 A qu'on suppose que les Coordonnées varient dans le même sens ou en sens contraire.

Ellipse. — Soit l'équation de l’ellipse

| bp— ME Ethz' = ab "où 7 —,- Va’ — ES a

b RER Et D fre = — fe Va’ — x.

Or, en intégrant par parties, on trouve

on aura

ner xd dx Va? — x — x Vu — x° 7 A | re RE à Va — &° Mais x? dx x? — d EE æ RL 7 Doria dit a dx Va x°+ a° are sin 4 Va — x Va? xt :

en substituant, il vient

a - RE à HER [avez = x Va? — x? + a! arc sin — — fe Va? — x1, a

Réunissant les deux intégrales, que l’on supposera prises à parur de la même limite, et ajoutant une constante arbitraire , 1] vient, en divisant par 2, puis mulüpliant

508 LIVRE It.

HE P «a b ——— bxVa'—x ab ; 18 — ‘Er Va? — x° = É bue — arcsin — + C.

a 24 2 a Si l’on veut que l'aire commence à l’axe des y, on aura : î : rab C = o. Si l’on fait ensuite x — à, on aura Ro pour la

valeur du quart de l’ellipse. L'’aire de l'ellipse entière est donc rab : elle devient ra? si b = 4.

bx Va: LL 2 a

triangle dont les côtés sont x et y; par conséquent, le

d ” LA “. À 4 Le terme étant équivalent 17 mesure le

ab ME 17 UD : LR terme — arc sin - mesure le reste de l’aire, c’est-à-dire le

secteur formé par l’axe des y, l’arc de l’ellipse et le rayon mené du centre à l'extrémité de cet arc.

Hyperbole. — Soit maintenant l'équation de lhyper-

bole b

ay? — bi = = a" D 0eme pe Vz° — a};

L MS frax=° [reve = [44

Et, si l’on suit la même marche que pour l’ellipse, on

on aura

trouvera ROUES | fre SRE ere A (x + Va — a) +0;

2 a s1 l’on veut faire commencer l'aire au sommet, son exe pression devra être nulle pour x = a, d'où C— st la, et l'aire aura pour valeur

ab, x + Vx—a

bx Va? — «

DES LIMITES DE SOMMES. 50g "4 . , , x TV ] . Le premier terme étant égal à > on €n conc ut que

ab , x + Vz° a?

EU TT entre l'axe transverse, l’arc de l’hyperbole et le rayon mené du centre à l'extrémité de cet arc.

est l’expression du secteur compris

Cycloïde. — Considérons maintenant la cycloïde rapportée à son sommet À (fig. 96); son équation différentielle sera |

LT dx 20 —Y

2 a étant le diamètre AB du cercle générateur. L’aire AMP a pour expression

x » V4 3 à var), où 1: dy V2 ay —Ÿ?; (e) (o

elle est donc identique avec l'aire AQN relativement au cercle générateur.

L’aire totale ADK est donc égale à la moitié js celle du cercle , ainsi que l'aire symétrique CHA ; et, comme le rectangle CHKDC est égal à 47 a”, l'aire CADC sera égale

à 3xa”, ou au triple du cercle générateur.

Quant à l'expression de l'intégrale

far Vaar 7.

Li)

on observera qu’elle est identique avec

elle rentre donc dans celle que nous avons calculée dans le cas de l’ellipse, en y changeant x en y — a. Aïnsi l’on

Si l’on prend l'intégrale à partir de y = o, on aura Ta?

4 1 et si l’on prend pour seconde limite y= 24, la valeur dé l’aire sera

comme nous l’avions déjà reconnu.

Spirale logarithmique. En à L’équation. de ceite courbe

est, en coordonnées polaires, r — Ae“?; l’aire comprise entre deux rayons vecteurs correspondants aux angles}. et 0 aura donc pour expression ;

en désignant par r, et r les valeurs extrèmes du rayon vecteur.

Si l’on part de 7; — 0, c’est-à-dire si l’on cherchelà limite de l’aire comprise entre le rayon fixe r et un autre rayon dont l’exirémité tend vers le pôle , tandis quesa

direction tourne indéfiniment auiour de ce point asymp- ; ré $ }

toie, on trouvera simplement te Cette aire croit donc

comme le carré du rayon vecteur,

DES LIMITES DE SOMMES. Bit

Rectification des courbes.