Nous avons démontré que la différentielle d’un

are de courbe plan est V dx? + dy?, en supposant les axes rectangulaires : elle sera pour une courbe à double

courbure, Vdx? + dy? + dz?. Lorsque les axes font entre cux des angles quelconques, on sait quels termes il faut ajouter sous le radical; mais on suppose ordinairement ces angles droits. L’arc dont les extrémités correspondent aux abscisses x, et x aura donc pour expression, dans le

premier cas, € 1 Vdx’ + dy}, Te et, dans le second,

TX É Vdx? + dy? + dr.

Si la courbe plane était rapportée à des coordonnées polaires, nous avons vu que la différentielle de sa longueur aurail pour expression

Vars 71 6,

et sa longueur serait, par conséquent, exprimée par

11 Var? + r?d6?, CA

9, et 8 étant des valeurs extrèmes de l’angle 0.

EXEMPLES

Parabole. — Soit d’abord la parabole ayant pour équation

PRE, td où ydy= pdr, dr = —,;

on aurä PUS TE ren ; Sd Vdx + dy? = dy V: pr

La longueur de l'arc dont ve extrémités correspondent ‘à yo et y aura donc pour expression

af dy Pre lo VIH P+pP (y + pp TE

PYr !

Si l'on veut faire commencer l'arc au sommet , on aura C = — p'lp,

et l'expression de cet arc sera

SN IEEE, Pline

2 p 2 P ; \ Ellipse. — L'équation de lellipse a'y2. HE br = ab?

donne dy Lr —— LE ay oies :

DAS. a —e?x°?

ds = V ax? + dy? = dx V peer

en désignant ÿ a? — b? par ae.

L'abscisse x étant toujours moindre que &, on peut poser x =" @a Sin, d'où | dx = a cosode, ds — ado Vi — € sin?o.

Pour intégrer cette expression, on développera le radical en série, ce qui est permis , puisque le second terme est

plus petit que le premier. On aura ainsi | & 1.1 . (2m— - 3) (1 et sin 0} = 1 = et sin? o — —— et sin oem À PR RE ee TS ion ET

et, par suite,

1 < : 6 PE ON 1.1.3...(2Mm—3) ne \= a [+5 fsinteds Pons et | sin‘odo —...— D ea ain pde |: Cette série sera d'autant plus convergente que l'excentricité e sera plus petite. Si l’on intègre à partir de 9 = 0,

on aura fs Me. ns JAUNE APR + (amet) (URI pe | nt ACT PT om PEN Fam) Me NT | (om—1)...3.17.

| 2m.4.3 te:

. . . T et, si l’on prend pour seconde limite ç — =? On aura pour

l'expression du quart du périmètre de l’ellipse,

:a PRES. De il ur [1.3.5 ,\? 1.3...(2m—1), \° 2 : 54 À) 2.4° ACER au 2.4...2m |.

Si e — 0, l’ellipse devient le cercle dont le rayon est a, ? ca Le ” 7 0 1 Tr a .

et l’expression précédente se réduit à — qui est, en

effet, le quart de la circonférence.

Hyperbole. — L'équation de l’hyperbole

ay? — br — — a! b?, donne d b'x —__— e?x? — a?

ARE — 3 ds = V dx'-+ dy? = dx © 9 ME, d'y 3 £— a?

en posant

V a! + b1= ae.

Les valeurs de x étant toujours plus grandes que a, on

et l’on aura

: a posera Re cos

. ? , gs . A A] Si l’on développe en série le radical, et qu'on intègre à partir de ® = o qui correspond à x — a, on aura

Mat ? do [—1C0s"g 1.1cos" p 1.1.3...(2m—3)cos "© Œ y 05? 2: € 2,4 et a a.4.6:-2m4, 1e À d'où

— f) mt me ee te ——— > + —— ——— ARR RE AP METRE rs s—aetango “e 48 [= si 2.4.6; et 2..6.,.2m em?

Lorsque x croît indéfiniment, o tend vers —; et s croît

sans limite. Mais si l’on cherche la différence entre l’arc et la partie de l’asymptote comprise entre le centre et le point correspondant de l'abscisse de l'extrémité de l’are, cette différence tend vers une limite dont il est facile d'obtenir l'expression. En effet, cette partie de l’asymp-

. EE Cas é tote est égale à sai ta Si l'on en retranche 5, il reste gi à

ae(PS se) | Rs el [= 1 COS TROT M l

v* . + : TT A < Si l’on passe à la limite P= il vient

ra nr AN? CS PET NS ET NS cle F3 re) +7 free +] 380. Cycloïde. — L’équation de la cycloïde rapportée

à son sommet est

P = 13 PER y” 3 « d’où

24 — y mac a =: or re Y ?dy V24;

donc

AE s— 27 N24a%C;:

et si l’on fait commencer l'arc au sommet, on aura Hd et. 5230247.

Si l'on fait y — 24, on aura la moitié du périmètre de la cycloïde, qui sera égale à 4a. Pour une valeur quelconque de y, s est double de la longueur de la tangente.

C’est à quoi l’on était déjà parvenu par la théorie des développées.

Spirale logarithmique. — L'équation polaire de cette courbe est

r==Aet, d'où dr— À ae“?d9;

ds — Var? + r°d0? — À Vi + a. cŸd0.

Donc

Pa 10