SA. — +C— + C

a Si l'arc commence au pôle, qui est ape de la courbe, on aura

1+a x C2 0 ‘Et De LR.

Cette expression est celle de Ja longueur de la tangente menée à l’extrémité de l'arc, et terminée à la perpendiculaire au rayon vecteur mené par le pôle. Ce résultat avait déjà été obtenu par la théorie des développées.

381. Supposons maintenant les points déterminés par trois coordonnés polaires. Soient 0 l’angle formé par le rayon vecteur r avec l’axe des z, et Ÿ l'angle formé par sa projection sur le plan XY avec l’axe des x. Toute courbe sera déterminée par deux équations entre r, b, 0. Les équations qui déterminent généralement x, y, z en fonctions de r, 8, Ÿ, feront connaître dx, dy. dz, au moyen de r, 0, d, dr, d0, dd; et en les substituant dans

Vdx? + dy? + dz?, on aura l'expression de la différen- 45:

tielle de l’are en coordonnées polaires. Maïs on peut y arriver directement de la manière suivante :

Si l’on conçoit une sphère décrite du pôle comme centre avec le rayon r, elle coupe le rayon r + dr en un point qui, joint à l'extrémité de 7° par un arc de grand cercle, détermine un triangle rectangle infiniment petit, dont ds est l’hypoténuse et dr un des côtés de l’angle droit. Pour déterminer le troisième côté, on mènera par l’axe des z deux plans contenant respectivement les deux rayons, et qui comprendront entre eux l’angle dd; puis, par l’une des extrémités de ce troisième côté, on mènera un plan parallèle à XY : le côté cherché sera l’hypoténuse d’un triangle rectangle tracé sur la sphère, et dont

les deux côtés de l'angle droit seront respectivement r sin dv et rd0. On aura donc

di Var? + rd0t+ 7°.sin 26d4?;

et pour avoir $, il suffira d'exprimer deux des variables en fonction de la troisième d’après les équations de la courbe, et d'intégrer entre les limites demandées.

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