CUBATURE DES SOLIDES ET QUADRATURE DES SURFACES COURBES

Cubature des solides de révolution.

382. Considérons maintenant le solide formé par la révolution d'une surface plane autour d’un axe situé dans son plan, et que nous prendrons pour axe des x. L’équation de la courbe qui termine cette surface est donnée entre deux coordonnées x, y, situées dans le plan YAX,, où se trouve primitivement cette courbe. Cela posé, nous nous proposons d'évaluer le volume compris entre deux plans perpendiculaires à l’axe de rotation, et qui est engendré par la partie MNM'N' de la surface (fig. 97) comprise entre les deux ordonnées arbitraires MP, NQ. Pour cela, nous chercherons l'expression de la diffé- rentielle de ce volume, que l’on peut considérer comme l'accroissement infiniment petit que prend le volume V lorsque la variable x dont il est fonction prend l’accroissement dx. Soit QR = dx, dV sera considéré comme le volume engendré par la surface NKN'K'. Mais, si par les points N ,N’ on mène des parallèles à AX, on remplacera NKN'K' par un rectangle qui engendrera un volume, dont le rapport avec l’accroissement exact du volume aura pour limite l'unité; ce que l’om démontre comme pour les aires. Maïs le volume qu’engendre ce rectangle a pour mesure % (y*— y”) dx, y et y! étant les ordonnées NQ, N'Q; donc le volume V, compris entre deux

plans correspondants aux abscisses 24, x, a pour expression

TL ver | (r?— y'!) dx.

Si l’on veut avoir le volume total, il faudra prendre pour limites de cette intégrale la plus petite et la plus grande des valeurs des x auxquelles correspondent des points de la surface donnée.

EXEMPLES

Elipsoïde. — Supposons que la surface génératrice soit celle d’une ellipse tournant autour d’un de ses axes, son équation sera

et l’on aura

2 2 3 yves? fus) dr = TE (as =) + C.

Si le volume doit commencer au sommet, on a

On aura le volume entier de l’ellipsoïde en faisant L=2930, ce qui donne

il devient Fra si b —a, ce qui réduit l’ellipsoïde à la sphère dont le rayon est a.

Il est à remarquer que la différentielle dV, ne renfermant pas de radicaux, ne devient pas imaginaire en de-= hors des limites o et + 24; elle ne fait que changer de sigue, et est égale, au signe près, à celle du volume en-

gendré par l'hyperbole, dont l'équation serait

Il résulte de là que, si dans l’expression de V on donne à la seconde limite x une valeur négative , on obtiendra le volume de l’hyperboloïde , depuis cette valeur de x jusqu'à x = 0; que, si l’on donne à x une valeur positive plus petite que 24, on aura le volume de l’ellipsoïde depuis x=— 0 jusqu'à cette seconde limite; et qu’enfin, si l’on donne à x une valeur positive plus BH que 24, on obtiendra le volume entier de l’ellipsoïde, diminuée du volume de l’hyperboloïde compris entre x = 24 et la seconde limite.

Donc, si l’on veut trouver la valeur qu’il convient de donner à x pour que V soit égal à un volume donné, ou que l’ellipsoïde soit partagé dans un rapport donné, on trouvera trois valeurs réelles : l’une négative, l’autre po- siuve et plus petite que 24, et la troisième positive et plus grande que 2a. Mais la seconde seule satisfait à la condition de partager l’ellipsoïde dans le rapport demandé, ou de manière à ce que V ait une valeur donnée, pourvu

RU Er ab:

Tore. — Ce solide est engendré par la révolution d’un cercle autour d’une droite située dans son plan. Soit lé-

quation de ce cercle

qu'elle soit moindre que

WC HE(r—-a Rp, ou

CES VR—(x— a}.

La différentielle du volume est (fig. 98)

Tr (mr — MP) dx ,

ou 4x6 dx VR?— (x — x), ou encore 2x6.MM' dx.

Or MM dx est la différentielle de l’aire du cercle gé2 nérateur. Donc le volume engendré par la partie du cercle comprise entre deux ordonnées quelconques est égal à cette aire multipliée par 276, c’est-à-dire par la circonférence décrite par le centre du cercle. :

Si l’on veut avoir le volume entier du solide, il faut multiplier l’aire du cercle par la circonférence décrite par son centre, ce qui donne 27°6 R°.

On trouverait le même résultat en intégrant la différentielle dx VR°? — (x — «)° que nous avons déjà trouvée dans la quadrature de lellipse et du cercle.

Quadrature des surfaces de révolution.

383. Nous avons appelé aire d’une surface courbe la limite de l’aire d’un polyèdre inscrit ou circonserit à cette surface, et dont les faces infiniment petites ont pour limites de leurs directions les plans tangents aux différents points de cette surface. |

Nous en avons conclu qu’on peut, au lieu des éléments plans qui composent la surface du polyèdre, considérer des surfaces courbes dont les plans tangents aïent pour limites ceux de la surface proposée. On pourra done re= garder la surface engendrée par la révolution d’un are de courbe plane, tournant autour d'un axe situé dans son plan, comme la limite de la somme des trones de cônes infiniment petits, engendrés par les côtés d'un polygone inscrit dans cette courbe. Si l’on désigne par y et + dy les ordonnées des deux points extrêmes d’un quelconque de ces côtés ayant pour longueur ds, la surface du tronc

de cône qu'il engendre aura pour mesure

d a (y +) a, ou 27ryds,

en négligeant l’infiniment petit du second ordre. L'aire engendrée par l'arc dont les points extrèmes ont pour abscisses x, et x aura donc pour expression

Da. d # ar | yds, où ar f me Vax? + dy?.