La série
| [ offre un exemple d’une suite indéfinie de termes décroissant indéfiniment, et dont la somme n'a pas de limite.
2 ñn
. . % I En effet, faisons la somme des 7 termes qui suivent -; ou nr
CRU es ñn 4-1] n —+- 2 2 7
elle est évidemment plus grande que
i 1 1 n " + — +...+— ou —> ouenfin —-:
SH Sat ; 2n 27 2
Donc, à quelque terme que l’on s'arrête dans la série en question, on peut toujours en prendre un assez grand nombre à la suite, pour obtenir un nombre plus grand
I , que =; et, par conséquent, la somme des termes de cette
série ne tend pas vers une limite, et peut croître indéfi-
niment.
Séries dont tous Les termes sont positifs.
3. PREMIER THÉOREME. — Une série est convergente, lorsque le rapport d’un terme au précédent tend vers une limite plus petite que l'unité, à mesure que le nombre qui exprime son rang devient de plus en plus grand. Elle est divergente lorsque cette limite est plus grande que l'unité.
Soit Ja série
Uo + Ui + Use + Unpihe.
42 F . - F © ait une limite k plus petite que l’u-
et supposons que
nité. Soit « un nombre déterminé quelconque, compris.
Un+i
entre 1 et; finira par être constamment inférieur
°n à «, quand 7 aura dépassé une certaine valeur. En considérant la série à partir d’un terme quelconque, au delà de cette valeur, on aura cette suite indéfinie d’inégalités
La, Ce Æ La,...,
Un Hoi Un43
d’où résulte
ny Ce AUns jUnse Rs Un y URLS EE
Tous les termes, à partir de #,,,, sont donc inférieurs à
ceux de la suite a Un + %* Un + a Un,
qui est une progression géométrique décroissante, et qui a, par conséquent, une limite. Donc aussi la série proposée a une limite , puisque la somme de ces termes, tous positifs, va constamment en augmentant, et reste néanmoins au-dessous d’une certaine quantité finie.
Il est même facile d'apprécier l’erreur commise en s'arrêtant à un terme quelconque. En effet, on a
Un + Ungs He Cu (1+a+ae+...);
donc .
Un
Him. (us + uni.)
L'erreur commise en s’arrêtant au terme w,, inclusive-
Un
ment est donc moindre que * Or u, est une quantité
connue, qui peut être aussi petite que l’on voudra, puisque les termes de la série, étant au-dessous de ceux d’une progression géométrique décroissante, peuvent devenir moindres que toute quantité donnée : quant à &, il sera en général assez facile d’en avoir une valeur suffisamment
approchée.
Il est évident que notre raisonnement ne suppose pas
Una z «18 . ,»
que © ait réellement une limite , mais seulement qu’il (44
finisse par être toujours au-dessous d’un nombre déterminé , plus petit que l’unité. Nous nous sommes exprimé ainsi, parce que ce n’est que dans des cas très-exceptionnels que cette fonction de 7 a une valeur indéterminée lorsque #7 augmente indéfiniment. Cette remarque s’appliquera à tout ce qui suit.
