Appliquons cette règle à la série

SE p'iypad 1 3.5 1

- LE 2.4 re ae AS ARE Len à PA

Mi, Se, 28 Li

On aura, dans ce cas, ; Un+

him. os u, et TESTER RAS Te Le I Un T (an+2)(2r+3) 645 ?

ee AU LUS SE FA (2Rr +1) d'où Gn+5 à Gr +5 o—— (CE nca bei A RE AN (ar +1} Le + 4n +1 et, par suite, - 6 n lim.na—=-=1+ -; 4 2

d’où il résulte que la série proposée est convergente. Considérons maïintenant cette autre série

LL 'ATENRREREUR 130 0e (277. È) D 24.0 OO MMA

Uni:

pour laquelle on a encore lim.

Un

aura pour valeur

LES VAI Le ri ER 2 Un 2 +2 I

—= 1, Le rapport

Uni

On aura donc

et

him.ra——3

d'où il résulte que la série est divergente, et que la somme est infinie.

Autre règle déduite de la considération des intégrales

définies.

48. Nous allons faire connaître encore une règle qui a été déduite de la considération des intégrales définies. Soit la série

US EU He Us HT OU UNIES

dont tous les termes, depuis une certaine valeur de » jusqu’à l'infini, sont positifs et décroissent constamment en tendant vers la limite zéro. Elle sera convergente où divergente suivant que la somme des termes, à partir de cette valeur de 7, tendra ou non vers une limite finie.

Supposons que l’expression du terme général soit une fonction de forme finie de n, et désignons par w, une fonction de la variable x, obtenue en changeant » en x, dans w,. Cetie fonction u, reproduirait tous les termes de la série proposée, en y donnant à x toutes les valeurs entières et positives. Sa valeur allant constamment en décroissant quand on fait croître x par degrés égaux à l'unité, à partir d'une certaine valeur entière, il arrivera généralement que la fonction u, ira constamment en décroissant lorsque x croitra d'une manière continue depuis une certaine valeur jusqu’à l'infini.

Admettant qu'il en soit ainsi depuis la valeur entière m1, ,

RÈGLES SUR LA CONVERGENCE DES SÉRIFS. 563 on aura | ml m +2 ed à M de lai 2 u, dx, m Mi +1 ME) LES RES do IN + 2

et

m +1 m + 2 ” Um+1 1 Ux dx , Um? A Uz dx ge s- 4-9 x m F2 +1

d'où il résulte, en ajoutant respectivement ces deux séries Lt Là CRT 4 b A b e d'inégalités, membre à membre,

ee) + J U, AT Un + Umgs HF Um+r Ho ee m

et

P y dx rs LATE + Un+e Sr ee LP m ]

u, dx est finie, il s'ensuivra que

Or, si cette intégrale J

mi la série à partir de w,,,, le sera de mème; et si elle est infinie, la série commençant à w,, le sera aussi. D’où il résulte que la série proposée sera. convergente ou divergente, suivant que l’intégrale

na fe u, dx.