Appliquons cette même règle à la série

log log 3 Ï + Pos Et Be RU

log x

On a alors u, — » expression qui décroit constam-

ment depuis la valeur de x pour laquelle logx = 1. Or

[= logz log’x PE

EU TE: dE

N Donc of. u, dx est infinie, et la série en question est dim

RL UCI #ii vergente; ce qui montre que le produit V2V3 V4... Vn.. est infini. Notre première règle conduirait au même ré-

sultat, parce que l’on aurait log nr — » log (: + :)

logn + log ( + :)

na —

ce qui donne lim. na — 1, Mais comme on a évidemment na <T1, la série est div:rgente, d’après une remarque

faite précédemment.

L'une ét l’autre règle feraient voir que la série dont

af log z \?

le terme général est =) est convergente.

Séries dont tous les termes ne sont pas de méme signe.

241. Lorsqu'une série n’a pas tous ses termes de même signe, il est évident qu’elle sera convergente, si elle l’est quand on donne le mème signe à tous ses termes, par exemple quand on les prend tous positifs. En effet, la somme des termes qui suivent l’un quelconque de ceux de la série proposée, est moindre que la somme des correspondants de la seconde, quel que soit le nombre que lon en considère, puisque tous ces termes s'ajoutent entre eux dans la seconde, tandis que les uns s'ajoutent et les autres se retranchent dans la première. Donc, puisqu’à partir d’un certain terme de la seconde, la somme des suivants a une limite qui peut devenir moindre que toute quantité donnée , il en est de mème à plus forte raison dans la première; et, par conséquent, elle est convergente. |

On peut donc d’abord appliquer à ces nouvelles séries les règles données pour celles dont tous les termes sont de même signe, tant pour reconnaître la convergence que pour calculer une limite de l'erreur commise en s’arrètant à un terme quelconque. Mais ces règles ne dispensent pas d'en chercher de nouvelles, spécialement applicables aux séries dont tous les termes ne sont pas de même signe; parce qu’une pareille série peut être convergente, et devenir divergente quand on donne le même signe à tous ses termes, Nous nous bornerons à celle qui résulte du théorème suivant :

Tnéornime. — Lorsque dans une série les termes finissent par étre constamment décroissants, et alterna-

tivement positifs et négatifs, cetle série est toujours convergente ; et l'erreur commise, en s'arrétant à un terme quelconque, est moindre que le suivant. *

Soit la série | |

Up F Un — Unss + Unie Un 4 LU

Désignons, en général, par s,, la somme des termes depuis le premier jusqu’à &,, inclusivement.

Nous remarquerons d’abord que la sômme s, de termes dont le dernier est positif ne peut être que diminuée par l’addition d'un nombre quelconque des termes suivants. En effet, pour passer de la somme s, à Sy 48 faut retrancher w,,, ; done on a 5,,, <s,. Pour obtenir la somme suivante s,,2, il faut ajouter U,4», Qui est moindre que le terme u,}, qui a été retranché des,; done on a encore S,4s <{5,. Le même raisonnement se reproduisant indéfiniment, on voit que la somme 5, est plus grande que toutes celles dont l’indice est plus élevé.

On voit, au contraire, que si l’on s’arrête à un terme: négatif, la somme sera toujours moindre que toutes celles dont l'indice est plus élevé.

Aïnsi les sommes dont le dernier terme est positif vont toujours en diminuant ; et celles dont le dernier terme est négatif augmentent constamment, en restant toujours au-dessous des premières. Ces deux suites de sommes se rapprochent donc de plus en plus à mesure qu'on avance dans la série, et leur différence tend vers zéro, puisqu'elle n’est autre chose que le dernier terme de la dernière, lequel tend vers zéro, par hypothèse, à mesure que son indice augmente indéfiniment. |

Donc enfin {a somme des termes tend vers une limite déterminée, et l'erreur positive ou négalive est toujours moindre que le terme qui suit celui auquel on s'est arrété.

Soit, par exemple, la série

x? x x" arr!

Ant DT a ee TU

Le rapport d'un terme au précédent est exprimé généra-

æ, et sa limite est x. Ainsi, d’abord la n +I

série sera convergente si l’on a x < 1 en valeur absolue ; divergente si x > 1. Lorsque x = 1, la série est conversente en vertu de la dernière règle, puisque les termes sont altérnativement positifs et négaüfs, et décroissent indéfiniment. Mais si l'on prenait x — — 1, la série

lement par

aurait une somme infinie.

Lorsque la série est convergente, l'erreur que l’on com-

met, cest-à-dire la quantité que l’on omet, en s’arrètant

< x" J xrri

à —, est moindre que ñ na

» et de même signe que ce | me terme.

Des séries imaginaires.