Lorsque les termes d’une série sont de la forme

LEE # V — 1, On entend que ceile série est convergente lorsque la somme des termes réels a une limite s, et

que la somme des coeflicients de V — r tend de même vers une limite t : on dit alors que la limite de la série

ests + ty — ,

On est ainsi ramené aux conditions de convergence de deux séries réelles. Maïs 1l suffit souvent d’en considérer une seule, celle qui se rapporte aux modules des termes de la proposée.

En effet, on peut toujours poser

u4+ vo —i= p (cos9 + Ÿ — rsin 6),

et la série proposée prend la forme

(1) " (cos 0, + V—1 sin 0,) + pi (cos8, ‘th V—1 sin0,) +... —+- Pn (cos 9, +- V—T se EN

Or, si la série

(2) Po Pi pate. pates

est convergent, en prenant tous les termes positifs , il

s'ensuit, à plus forte raison, que les deux suivantes :

(3) Po COS 05 + pr COS 0, + . : + Pn ces 0, + .

MO Des re + + Pr. SIN On +».

le seront elles-mêmes; car, à partir d'un terme quelconque, la somme des suivants Jusqu'à l'infini est évidemment moindre que dans la première. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Une série imaginaire est convergente lorsque la série des valeurs absolues des modules de tous ses termes est convergente.

Lorsque la série (2) n’est pas convergente, il est possible que ses termes tendent ou ne tendent pas vers zéro. S'ils n’y tendent pas, les séries (3) ne peuvent être toutes deux convergentes; car, quelque valeur qu’on puisse supposer à l’angle 6, il est impossible que p cos 0 et p sin 0 tendent tous deux vers zéro, si p n y tend pas. Les termes des deux séries (3) ne peuvent donc tendre vers zéro, ce qui est cependant une des conditions indispensables de la convergence. La série (1) est donc, dans ce cas, divergente.

En second lieu, si la série (2) étant divergente ses termes décroissent indéfiniment, il n’est pas impossible que les séries (3) soient convergentes, parce que tous leurs termes ne sont pas de mème signe; on ne peut donc alors rien affirmer, en général, sur la convergence de la série proposée. |

nes à Let

NOTE Il.

SUR LES EXPRESSIONS IMAGINAIRES. COMMENT ON LES INTRODUIT DANS LES DONNÉES DU CALCUL.

23, La résolution des équations du deuxième degré conduit quelquefois à extraire des racines carrées de quantités négatives. Ces sortes d'expressions ne représentent pas des nombres , soit positifs , soit négatifs ; on les désigne sous le nom de quantités imaginaires. Nav n'avons pas pour objet d'examiner ici à quelles circonstances correspondent ces formes dans les questions proposées ; nous nous bornerons à dire qu’en substituant ces expressions à l’inconnue, l'équation que l’on avait à résoudre devient identique, pourvu que les racines carrées des quantités négatives soient traitées d’après les règles ordinaires de algèbre, et que l’on considère leur carré comme s’obtenant par la suppression du radical.

Si l’on a, par exemple, l’équation

| æ — 2ax + @ += o, on en tire les deux valeurs imaginaires te dits V— B, et l'on peut vérifier que la substitution de cette valeur dans l’équation la réduit à o = o.

Il en serait de même si, au lieu de V—&?, on mettait

bV — x, et c’est ce que l’on fait ordinairement, afin que la seule quantité imaginaire à considérer soit toujours

V— r. Les valeurs de x se trouvent ainsi mises sous la

forme

x — a Ed Ÿ +.

Il ts d'abord que toutes les considérations auxquelles ces sortes d'expressions peuvent donner lieu , soient rela=« tives aux circonstances qui leur donnent naïssance dans les questions dont elles présentent la solution; mais ona trouvé de très-grands avantages à les introduire dans les données mêmes de certains calculs, et c’est sous ce point de vue que nous allons les considérer.

Sans attacher aucune idée de quantité à l'expression V—1, nous convenons de la traiter de la mème manière que si c'était un nombre dont les puissances successives seraient

VER NP RSR A ET Ver, ia

les quatre premières se reproduisant indéfiniment dans le même ordre.

Rien ne s'oppose à ce que l’on fasse des calculs algé-

briques dans lesquels V1 soit traité de cette manière; il ne s’agit que de savoir s’il y a quelque intérêt à le faire; et si de pareilles opérations peuvent offrir de nouvelles ressources à l'analyse. Il pourra quelquefois être plus commode de remplacer V—: par une lettre dont les puissances se distinguent toutes les unes des autres, tandis que celles de V= 1 se reproduisent périodiquement: En désignant ÿ—1 par À, nous entendrons que À soit traité comme un facteur ordinaire, d’après toutes des règles démontrées dans le cas des quantités réelles; seu lement, après tous les calculs effectués, on remplacera les puissances

pa C

2%. Lorsque nous poserons une équation entre des quantités réelles et imaginaires, comme