D DV—T — LED V

nous entendrons toujours que l'on savait d'avance que A—AtetB— B'. Ces dernières équations ne seront jamais des conséquences de la première; c’est, au contraîre, la première qui en est la conséquence, et nous n'attacherions aucun sens à cette équation si nous ne savions , indépendamment d'elle, que les parties réelles sont égales de part et d'autre, ainsi que les coefhcients respectifs de V—1. Nous insistons sur ce point, parce que la plupart des auteurs l’entendent de la manière inverse.

M Ayant bien établi de quelle manière nous traite-

rons l'expression VŸ— +, nous allons montrer, par un premier exemple, l'avantage que l’on peut avoir à l’introduire dans le calcul.

Considérons les deux expressions

cosæ + ÿ—1 sinx, cos ÿ + Ver sin y,

et multiplions-les entre elles, dans le sens que nous attachons ici à cette opération; nous trouverons

cosx cos y — sin x sin y +W—1 (sin æ cos y + sin y cos), ou | cos (x 4-y)}+ Y— 1 sin(x + y).

Nous pouvons donc poser (cosx + ÿ—1sin x) (cos Y + ÿ—1 siny) —= COS (x +7) += sin (œ+r);

Puisque nous avons prouvé d'avance que les parties réelles

étaient respectivement égales, ainsi que les coeflicients de V—1.

Et l’on conclut de là que pour diviser deux expressions de cette forme l’une par l’autre (en entendant par quotient une expression qui, multipliée par le diviseur suivant les règles convenues, reproduirait le dividende) il suffit de retrancher l'arc qui se trouve au diviseur de celui qui entre dans le dividende.

En multipliant le produit de ces premières expressions par une troisième cos z + V1 sin z, il sufhra encore d'ajouter les arcs x + y et z, ce qui donnera la nouvelle équation

(cosx + V—1 sinx) (cos y + ÿ—1 sin y } (cosz + V—1 sinz) = cos(r+y+z)+V—isin(x+yr+z); et il est facile de voir que, quel que soit le nombre des

facteurs de cette forme, leur produit effectué donnera tou- ; P Jours pour partie réelle le cosinus de la somme de tous les

ares, et pour coeflicient de ÿ—1 le sinus de cette même somme. On pourra donc poser une équation semblable à la dernière, en supposant un nombre »m quelconque de facteurs, puisque les parties réelles sont démontrées égales, ainsi que les parties imaginaires.

En supposant le cas particulier où x=y=z=.., on aurait la formule suivante, qui est due à Moivre :

(1) (cosæ + V1 sinx)" — cos mx + V— 1 sin x;

il est donc prouvé que, si l’on forme la puissance #» du binôme cos æ + V—1 sin x d’après les règles ordinaires, la partie réelle sera égale à cos mx, et le coefficient de V—1 à sinmx. Or le développement de la puissance "2 d'un binôme s’effeciue au moyen d’une formule trèssimple ; on aura donc ainsi le développement général de.

SUR LES EXPRESSIONS IMAGINAIRES, 573 cos mxet sin mx, m étant un nombre entier quelconque. Ces formules sont

m (m —i) + cos mr = COS" T — RRQ cos"? x sin? x m(m—1)(m—2)(m— 3) A L PET A ; m(m—1)(m—2) 4 SNL —MCOS"— UT SIN — —"" " cost Ir Sinxr +...

1:28 On peut observer que le développement de (cosæ — ÿ—7r sin x)" ne différerait de celui de (cos,x + V—1 sinx}" que par le signe des termes où se trouvent les puissances impaires de V—1, et que, par conséquent, (cos x — ne sin æ }" — cos mr — Y— 1 sinmx. .

26. En entendant par racine n*”*° d'une expression imaginaire une autre expression qui, élevée à la puissance Z, suivant le sens convenu, reproduirait la pre-

sai ' CA RCE à À "4 muére, on voit que cos —- + V — 1 sin — est une racine 7°" n 2

de cos x + ÿ—1 sinx, puisque nous avons prouvé que pour élever une semblable expression à la puissance n°", il suffit de multiplier l'arc par n. On a donc

(cosx 1 sinx} — cos = Eÿ—1 ME A 1 " ?

et si l’on élève les deux membres à la puissance p, il vient

ie D rie cosz EH V1 Nine ent RC ANRS 7 2 ;

574 ! CANNOT | ce qui montre que l'équation (1) est vraie quand m est wi

nombre fractionnaire quelconque £ , en entendant seule-

ment par là que cos x + Ya #; sinË x, élevé à la puissance n, donnerait la puissance p de cos x V—1sinx, et que, par conséquent , il est une des racines n°"°* de cette puissance p.

L’équation (1) est encore vraie si m est égal à un nombre négatif — n. En effet,

— = \— CEE ban) [ pe EM EE (cosx +y—1 sin x) "18 (cos Fe ÿ=—rsinx)" (cos nx +- V—1 sinnr)? |

or diviser par cos 2x + V—1 sin nx, c'est trouver une expression qui, multipliée par ce diviseur d’après les règles convenues, donne dre r produit le Dre; ce quotient est donc cos 727 — 5 sin x.

Donc

(cos x + ÿ—1 sinx)-" — COS (— 7x + ÿ—1 sin (— nx).

La formule (1) est donc vraie, quelque valeur réelle qu'ait», en observant toutefois que si la puissance 7n est susceptible de plusieurs valeurs, nous avons seulement prouvé ici que le second membre en est une.

27. Nous allons résoudre maintenant la question in= verse qui consiste à développer cos” x et sin” x au moyen des cosinus et sinus des arcs multiples de x, m étant un nombre entier.

Pour cela, nous poserons

cos æ + ÿ—1 snx=4u, COS æ — W—1 sin #26

"2COST Zu + P ,

et, par suite, >

m ( m ré) a"7 2,2

m—1| { VIE, ma TP 1.2

a" cos" x — u” —+- mu v+

Observant maintenant queur—1,etqueu"+#"— 2coskx,

on aura

2" 087 x = 9 COS MX + 2.m COS(m —2) x. cos(m—4)x+....

Si mest pair, le terme qui se trouve au milieu du dévelop-

m m(m—).. (+1) pont deu + V}" se réduit à — tt " 201