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a alors ce que l’on appelle une équation différentielle, et la difficulté se trouve considérablement augmentée. Elle l’est plus encore lorsque lon a plusieurs fonctions inconnues d’une même variable, mêlées à cette variable età leurs dérivées respectives dans un nombre égal d’équaons. Elle l’est bien plus enfin lorsqu'il s’agit de foncions de plusieurs variables indépendantes, et qu'on a des équations entre ces fonctions, leurs dérivées partielles et les variables. Et il est facile de prévoir que ces questions, inverses de celles de la différentiation, doivent se présenter à chaque instant.

Dans la géométrie, par exemple, les considérations de tangentes, de courbure, de développées, etc., dépendent des dérivées des coordonnées au moyen de formules connues. D'où il suit que toutes les fois qu’on voudra déterminer une courbe par des conditions dépendant de sa tangente, de son rayon de courbure, etc., si l’on admet, en outre, qu'on parvienne à exprimer ces conditions, on n’obtiendra pas autre chose que des équations différentielles; et alors se présente ce problème d'analyse : « Étant donnée une équation entre une fonction, la va- » riable dont elle dépend et plusieurs de ses dérivées » par rapport à cette variable, déterminer cette fonc- » tion. » x

Souvent aussi les dérivées ne se présentent pas d'ellesmêmes dans l’expression des conditions données, et'on cherche à les introduire dans l’éspoir de trouver à cela moins de difficulté qu’à introduire la fonction elle-même. Si l’on y parvient, la question est ramenée au même problème de calcul sur une et quelquefois plusieurs» équations différentielles. Les questions de mécanique conduisent presque toujours à ce même problème, parce que fa vitesse et la force motrice dans le mouvement d'un point matériel s'expriment d'une manière géné-

rale, au moyen des dérivées de ses coordonnées par rapport au temps. Il résulte de là que si le mouvement d’un point est connu, c’est-à-dire si ses coordonnées sont données en fonction du temps, on peut par de simples diflérentiations déterminer la force qui produit ce mouvement; mais si, comme cela arrive le plus ordinairement, on suppose la force donnée, et qu’on cherche à en déduire le mouvement, on se trouve ramené à ce mème problème général, inverse de celui du calcul différentiel , et qui a pour objet de déterminer des fonctions d’après des équations où elles sont engagées d’une manière donnée avec leurs dérivées et les variables indépendantes.

Des questions physiques où il n'entre aucune considération de forces peuvent encore ramener à ce mème problème d'analyse. Ainsi, lorsque l’on connaît à un certain instant les températures de tous les points d’un corps, on peut exprimer, au moyen des dérivées partielles de la température, par rapport aux coordonnées, le flux de chaleur qui traverse un élément plan infiniment petit, dans une direction quelconque et en un poïnt quelconque. Or on a pu déduire de l’expression générale de ce flux l'élévation de température que subit un élément infiniment petit du corps dans un temps infiniment petit, en négligeant toutefois des quantités infiniment petites par rapport à cette élévation. On connaît, par suite, la dérivée partielle de la température par rapport au temps, et l’on a ainsi une équation entre cette dérivée et Les dérivées de la même fonction par rapport aux coordonnées, Le problème de la détermination de la température des divers points du corps à une époque quelconque , s’est done trouvé ramené à l’intégration d’une équation entre une fonction de plusieurs variables indépendantes et plusieurs de ses dérivées partielles. On concoit done de quel

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intérêt il serait pour le progrès des sciencesmathématiques pures ou appliquées, de résoudre le problème général de l'intégration des équations différentielles. On ne le peut malheureusement encore que dans des cas bien restreïnts ; et c'est cette étude qui va nous occuper maïntenant, en limitant toutefois les théories à ce qu’elles ont de. pa élémentaire et de plus essentiel.

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