DES INTÉGRALES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'ORDRE QUELCONQUE

1. Intégrer une équation diflérentielle entre deux variables x et y, c’est trouver toutes les valeurs de y en fonction de x qui y satisfont; ou, en d’autres termes, c’est trouver une équation entre x et y qui soit une conséquence de la proposée, et ec PrOTE EE dont’ Cet soit une conséquence.

Sous le point de vue géométrique, c’est trouver ioutés les courbes dont les coordonnées et leurs rapports différentiels des divers ordres satisfont à cette équation.

Considérons l’équation générale de l’ordre m, c’est-àdire celle où m est l’indice de la dérivée de l’ordre le plus élevé qui y entre, quelles que soïent d’ailleurs les puissances dont ces dérivées soient affectées. Soit cette équation

À dy dy d'y (1) $ GE ds dei” ee } { d'". ; d « m1 Elle détermine en fonction de x, y, een ‘4 a. et

si on la différentie successivement, les rapports différen-

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. “#5 uel SZ, PE, etc., seront déterminés en fonction des mêmes quantités.

Toute fonction de x peut, en général, être développée en série, au moyen des théorèmes de Taylor, ou de Maclaurim. Le premier est moïns sujet aux exceptions , parce qu'on peut choisir la valeur de x qui entre dans les coefficients , de telle sorte qu'aucun d’eux ne devienne infini. Dans ce cas, la série sera nécessairement convergente, pour toutes les valeurs de x comprises entre certaines limites déterminées, et quelquefois même pour toute valeur de x.

Soit donc y la valeur la plus générale qui satisfasse à l'équation (1). Si on la suppose développable d’après la formule de Maclaurin, on aura

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et si l’on remplace tous les coefficients à partir de. celui de x”, par leurs valeurs en fonction des précédents, déterminées comme nous l'avons dit, la fonction cherchée sera nécessairement comprise dans celles que représente ce développement, puisque l’on n’aura exprimé que des conditions auxquelles elle doit satisfaire. Et réciproquement, la fonction ainsi déterminée satisfait nécessairemênt à l'équation différentielle ; car, si l’on différentie "2 fois les deux membres de l'équation (2), on obtient précisément le développement de l’équation (1) résolue par

M 42 rapport a Le

L'équation (2) donnerait donc la solution complète de la question, si toutes les valeurs de y étaient dévelop-

pables de cette manière. Mais, dans tous les cas, il ne peut manquer que celles pour lesquelles certains coeflicients différentiels cesseraient d’être finis et déterminés, pour la valeur particulière x — 0.