Si l’on avait développé, d’après le théorème de

Taylor, suivant les puissances de x — x, on aurait eu comme conséquence de l'équation (1)

les coeflicients étant toujours déterminés à partirde l'ordre m, au moyen de l'équation (1), et se rapportant à x — X,3 et réciproquement, l'équation (1) se déduirait de celle-ci par m différentiations successives.

La valeur arbitraire x, pourrait bien être choisie de manière à ce qu'aucun coeflicient de la série ne devint infini, si ces coeflicients ne dépendaiïent que de xo; mais comme ils renferment encore la valeur correspondante de y et de ses dérivées ; il pourra arriver qu’une certaine fonction y — 9 (x), tout en satisfaisant à l'équation différentielle, rende infinis ou indéterminés certains coefficients du développement, quel que soit x: nous en donnerons bientôt un exemple. | gi)

On voit par là que les formules (2) et (3) peuvent ne pas renfermer toutes les fonctions qui satisfont à l’é= quation (1). Îl est inutile de dire que ces deux formules coïncident lorsque toutes les solutions sont développables au moyen de l’une et de l’autre, puisqu'elles représentent

alors identiquement les mêmes fonctions. Dans les limites,

où elles sont suffisamment convergentes, elles peuvent servir à donner, par approximation, la valeur de la fonc

Mon cherchée. On donne le nom d’intégrale générale de l'équation (1) à léquation (3), dont l'équation (2) n’est qu'un cas particulier correspondant à Yo = 0. L’équation (3) satisfaisant à l'équation proposée, quelles que soient les valeurs des m premiers coefficients, Yo,

dx LE des m différentiations qui conduisent de l'équation (3) à la proposée, nous en conclurons que l'intégrale générale d’une équation différentielle de l'ordre m ren-

d (7 éco . L L2 .

( ) METRE (=) ; puisqu'ils disparaissent au moyen û 0

ferme nécessairement m constantes arbitraïres qui sont les valeurs de la fonction et de ses m7 — 1 premières dérivées, correspondantes à une valeur de x prise à volonté.

3. Il est facile de démontrer réciproquement que toute équation-entre x et y qui sausfera à l'équation différentielle, et renfermera m2 constantes arbitraires, est identique avec l’intégrale générale représentée par le développement (3). En effet, si l’on conçoit qu’on développe, suivant les puissances de x, la valeurde y donnée par cette équation, les »2 premiers coefficients renfermeront æ, etles m constantes arbitraires, et pourront prendre toutes les valeurs possibles, en choisissant convenablenent ces constantes, quelle que soit d’ailleurs la valeur qu'on prenne pour Xe; ils peuyent donc être regardés comme entièrement arbitraires: et comme les suivants en dépendent d’après l'équation (1), le développement ne différera pas de celui que donne l'équation (3). D'où résulte cette importante proposition, que foute, équation entre x'et y qui satisfait à une équation différentielle de l’ordre m, en est l'intégrale générale lorsqu'elle renferme m constantes arbitraires, au moyen desquelles il soit possible de donner des valeurs arbitraires à la fonc-

tion et à ses 21 — 1 premières dérivées, pour une certaine valeur de x.

4. La dernière condition exprimée dans cette proposition est indispensable parce qu’une équation peut renfermer m constantes, susceptibles d’être réduites à un moindre nombre par des transformations. Ainsi, lorsqu'on voudra s'assurer si cette équation constitue l’intégrale générale, il faudra la différentier m—1 fois, et chercher si l’on peut donner aux m constantes des valeurs telles, que pour une valeur donnée de x on en puisse tirer des valeurs arbitraires de y et de ses m—1 premières dérivées. Et pour cela il suflira de reconnaître si les m équations peuvent être résolues par rapport aux mn constantes, sans qu'il en résulte aucune absurdité : car alors pour une valeur quelconque de x, on pourra choisir arbitrairement y et ses m —1 premières dérivées.

Si par exemple on avait trouvé qu'une équation du second ordre füt satisfaite par la valeur

ner C'er, C, C’ étant des constantes arbitraires, on en tirerait

Ÿ = aCes+ a C'erz; or, quelque valeur finie que l’on donne à x, ces deux équations donnent des valeurs finies pour G et C’, si lon n’a pas a — a’. D'ou il suit que, si a/ est difiérent de &,. la valeur trouvée de y est l'intégrale générale: Si l’on avait obtenu une solution de cette forme

y = Csinax + C'cosax, on en déduirait

dy * fire De 0 Ccosax — aC'smax;

Le

Le

+ INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 9 d’où l’on tirerait toujours des valeurs finies pour C et C”, pourvu que a ne fût pas nul; la valeur de y serait donc encore l'intégrale générale.

Il en’ sera de même pour une expression de la forme

y =Csin(x +a)+Csin(x+ a);

si on la diflérentie, et qu’on prenne, pour plus de simplicité, Xo — 0, on trouve

Yo = Gsin a + C’sin a’,

: , (& = C cos a + C/ cos a”, jé rh

et l’on tirera de là des valeurs finies pour C ei C’, si l’on n’a pas ; sin a cosa’ — sina/ COsa = 0,

ou : AA ET,

n étant Moribre entier. La valeur de y sera donc l'in-

tégrale générale, excepté dans ce cas particulier.

Mais si l’on trouvait pour solution d’une équation du

troisième ordre j=Csn(x+a)+C'sin(x+a)+ C’sin(x + a”), en diflférentiant deux fois, puis faisant x — o, on aurait + Yo= Csin a + C’ sin a’ + C” sin a”,

dy — | = Ccosa + C’ cosa’ + C” cosa”, rl,

d?y à , s — |") =Csina + Csina + C’sina”.

Pet

Or, la première et la troisième de ces dernières équations

étant incompatibles, si on laisse y, et

1 D , ) indé peu- {0

dx?

es "=

dants l’un de l’autre, on voit qu’il est impossible de déterminer les trois constantes de manière que y et ses deux premières dérivées aient des valeurs quelconques pour x — 0; donc la valeur de y n’est pas l'intégrale générale. Et il est facile de voir dans cet exemple que les constantes pouvaient être réduites à deux; car, en développant les sinus, On trouve

7 =(Ccosa + C' cos a’ + C” cos a”) sinx

+ (C sin a + C' sin a! + C” sina”) cos x,

et la valeur de y ne renferme réellement que deux constantes arbitraires, qui sont les coeflicients de sinx et COS X.

5. Lorsque dans l'intégrale générale d’une équation on donne des valeurs particulières à une ou plusieurs des constantes arbitraires qu’elle renferme, cettesolution se nomme une zntégrale particulière.

Lorsqu'on satisfait à une équation différentielle au moyen d’une équation qui n’est pas renfermée dans Pintégrale générale, on a ce que lon appelle une solution singulière, ou une intégrale singulière.

Il faut alors, comme nous l'avons déjà remarqué, que des coefhicients du développement (3) "deviennent infinis, ou indéterminés quel que soit x,, et par conséquent lorsqu’on le remplace par la variable x. Et comme ces coefli=" clients ne renferment que des dérivées d’ordre inférieur à m , il en résulte que la valeur y — p(x), qui constitue une solution singulière d’une équation différentielle de l'ordre m, doit satisfaire en mème temps à cette équauon et à une autre équation diflérentielle, d'un ordre inférieur, dans laquelle il n'entre aucune constante ar* bitraire, |

Si par exemple l'équation proposée est du premier or-

… is

INTÉCGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 11 dre, les solutions singulières ne pourront être données que par des équations entre x et y sans constante arbitraire; et, par conséquent, une solution renfermant une constante arbitraire ne pourra être que l'intégrale générale.

Mais si l'équation proposée était d’un ordre supérieur au premier, la solution singulière serait, en général , une équation différentielle, d’un ordre inférieur d’une unité, qui donnerait une intégrale renfermant des constantes arbitraires. On voit donc que les solutions singulières des équations diflérentielles de l’ordre 2 peuvent être données par des équations entre x, y et m — 1 constantes au plus. On ne peut donc toujours conclure de la présence de constantes arbitraires, qu'une solution est une intégrale particulière et non une solution singulière.

6. Nous allons maintenant donner un exemple du cas annoncé dans le n° 2. Considérons l'équation diflérenüuelle

UE LES dy HAE y + man at a)" L (y — x)° dy I Ag le Fa

et l’on trouvera, en employant la formule (2),

. æ Là 1 à = Yo + (: GAL X + 3 370 Ÿ + EE A Vo! +. ….:

On reconnaît facilement qu'en posant

et cette valeur se trouverait directement, en posant dans l'équation proposée y — x — z, ce qui la réduit à

dz =

le Ve