È z Zi (3) (c— x), où Y=x+ (3) (c— x

Cette équation donne identiquement les mêmes solutions ses que la proposée, pourvu qu’il ait été permis de diviser

par z°, ce qui exige que z ou y —x ne soit pas zéro. Si donc y — x = o ne peut satisfaire à la proposée, l’équa= tion (a) en donnera toutes les solutions; mais si y —x=0 y satisfaisait, il y aurait des solutions qui pourraientne pas être renfermées dans l'équation (a); et, en effet, Y—Xx—= 0 ne satisfait pas à cetie dernière, quelque va=« leur que l’on donne à la constante arbitraire, et satisfait

cependant à la proposée. Elle est donc ce que nous avons nommé solution singulière.

Cette solution n'étant pas renfermée dans l’intégrale générale, voyons ce que deviennent les coefficients du développement le plus général de y, donné par la formule (3).

Or il est évident que, si l’on fait y = x, tous les coeffi-

cients différentiels, à partir de = 2 deviennent infinis;

et si l’on n'avait pas supprimé le facteur commun ( Y —x) 3

aux deux termes de la valeur de eL elle se serait pré-

7 O sentée sous la forme —.

Cet exemple montre qu'il peut arriver, comme nous Pavions annoncé précédemment, qu’une valeur de y en x satisfaisant à une équation différentielle, et développable suivant les puissances de x, ne donné cependant pas un développement possible en partant de l'équation différentielle proposée, et que, par conséquent, on ne peut répondre que l'intégrale, dite générale, renferme toutes les solutions de l'équation proposée; ou, en d’autres termes, qu'il n'existe pas dé solutions singulières.

1. S'il arrive que l’une des équations obtenues par la différentiation de la proposée, soit décomposable en deux facteurs dont l’un soit d’un ordre inférieur à l’autre, et qu'on égale à zéro celui de l’ordre le moins élevé, on obtient une équation de plus entre les dérivées déjà considérées; il y aura, par conséquent, une arbitraire de moins dans ce développement de y, qui, en général, ne sera pas compris dans l’autre développement qui renferme m constantes arbitraires.

Considérons comme exemple l'équation y NN d | (b) (2) +2 ro.

On trouve , en la différéentiant,

dy y

2 x if

dx hi | dE?

En considérant le facteur du second ordre, on aura, par

des différentiations successives, * dy PCR À fe

l'équation (b) donnera en conséquence, par le développement de Maclaurin,

F=JoTr x VTe En considérant maintenant le facteur du premier ordre;

on irouve

PL RE 0 d°y

rs m2

cé AQUer : SE

dx : dx? 2 ar

Observons maintenant que y, n’est plus arbitraire parce

qu'on a deux équations enire x, 7, et qu'on en tire, ; GA

pour x —0, dy

(2) = O, Vo — O.

On a donc, pour 7}; la valeur suivante sans constante arbitraire, x

laquelle n’est pas comprise dans l'intégrale qui renferme une constante arbitraire, et, par conséquent, est une solution singulière.

Autre moyen de déterminer les intégrales des équations

différentielles.

8. Au lieu de faire servir l’équation différentielle à la détermination des coefficients du développement de lintégrale, on peut l’employer à calculer, avec autant d’approximation que l’on voudra, les accroissements successifs de la valeur de y, et, par suite, cette valeur elle-même, On n'aura pas ainsi l’expression de y au moyen de x, mais autant de valeurs particulières que l’on voudra; en d’autres termes, on connaîtra approximativement autant de points qu'on voudra de la courbe représentée par l’équation que l’on cherche.

Considérons d’abord l'équation du premier ordre, que

- l'on peut toujours supposer mise sous la forme

dy = F (x; raz.

Si l’on se donne à volonté la valeur y, correspondante à un x arbitraire x,, l'équation donnera l’accroissement que prend y quand x devient x, + &; sa valeur sera dÿe = EF (0,0) +, en négligeant toutefois les quantités du second ordre par rapport à &. Désignant par x’, y! ces deux nouvelles valeurs de x et y, l'accroissement de y! relatif à un accroïssement « de x’ aura pour valeur

dy'=F(x,7')e,

en négligeant encore les quantités du second ordre par rapport à &, ainsi que l'erreur encore plus petite provenant de la valeur de y dans laquelle on a négligé une quantité du second ordre. En continuant ainsi, et négli-

16 Lee DEVRE AV

geant toujours les quantités du second ordre par rapport à &, on aura autant de valeurs que l’on voudra de y, ou autant de points qu’on voudra de la courbe qui satisfait à l'équation différentielle, et passe par le point arbitraire dont les coordonnées sont x,, yo. On voit par là qu’une équation du premier ordre a une infinité d’intégrales qui ne diffèrent les unes des autres que par la valeur d’une constante, qui est l’y correspondant à une valeur de x choisie arbitrairement. [?expression générale de y, résultant des calculs précédents, est

Y=Y+E (x Yo) +EF[t0 +, Yo + E(to, Yo)a a+...

le nombre des termes à prendre dépendant de la valeur de x que l’on considère; et l’on aurait sans erreur la va= leur de y en fonction de x, si l’on pouvait trouver la limite vers laquelle tend la somme de x + 1 termes de cette suite, en supposant 24 —x— Xo, et « décroissant indéfiniment.

9. Il est à remarquer que cette manière de déterminer les diverses intégrales de l’équation différentielle s’appli= que à toutes les solutions : les intégrales particulières et les intégrales singulières s’y trouvent également com= prises ; ce qui n’a pas lieu dans les autres méthodes.

On procéderait d’une manière semblable si l’on avait à intégrer une équation du second ordre, dont la forme peut toujours être supposée réduite à celle-ci :

dy. dy dy dy — =F|(x —— ou d——="F\|x,y, — |dx.

dx? ( ke a) dx 4 dx à ; ire dy On se donnerait arbitrairement les valeurs y, a] COr- Le , \ 237 . . A , ÿ respondantes à x,, et l'équation ferait connaître l’accrois=

d A3 4 ei À 3 sement de relatif à l'accroissement «& de x ; On aurait ax

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIFLLES. 1 Fe |

ainsi la valeur de — correspondante à Xo + &; d’ailleurs TL

d l'accroissement de y serait connu, puisqu ’on donne +.

On connaïîtrait donc, pour la valeur x, + «, les valeurs d £ ER CE , Q

correspondantes de y et Ds et l’on répéterait indéfiniment ax

cette opération. On voit par là qu’il y a deux constantes arbitraires dans l’intégrale d’une équation du second ordre. Le procédé que nous venons de suivre ne fait connaître que par approximation les valeurs des intégrales ; on ne les connaîtrait exactement qu’en déterminant la limite de la série quand « tend vers zéro, et qu’on pose, comme dans le cas précédent, na = x — xs.

Les mêmes considérations s “appliquent évidemment aux équations de tous les ordres.

ar 0-2 —