DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D’'UNE ÉQUATION A DEUX VARIABLES

10. Si l’on considère une équation à deux variables F(x,y)—o,et qu'on en déduise d’une manière quelconque une autre équation qui renferme x, y et des dérivées de y par rapport à x, cette dernière est ce qu'on appelle une équation différentielle de la première. Elle est une conséquence de cette équation, mais celle-ci n’en est pas toujours une conséquence nécessaire. Aïnsi, nous avons vu qu'une fonction de x n’a qu’une dérivée; tandis qu’une dérivée peut correspondre à une infinité d’intégrales, qui diffèrent par la valeur d’une constante.

Si entre l’équation primitive et celle que lon obtient en différentiant une fois ses deux membres, on élimine une constante &, On aura une certaine équation différentielle du premier ordre de la proposée. Et généralement, si l’on différentie m1 fois la proposée, on pourra éliminer #7.quelconques des constantes qui y entrent, et l’on obtiendra ainsi une équation différentielle de l’ordre m de l’équation primitive, qui renfermera m constantes de moins qu’elle. On aurait une équation différente du même ordre si l’on éliminait entre les mêmes équations 7» autres constantes.

On doit même observer que toute équation différen-.

elle peut être considérée comme obtenue de cette manière; car nous avons démontré que, si elle est de l’ordre m, son intégrale générale renferme m constantes arbitraires qui ne sont pas dans l’équation différentielle. Done celle-ci n’a pu être déduite de l’autre qu’en éliminant ces

INTÉURATION DES ÉQUATIONS IMFFÉRENTIELLES. 19

constantes entre elle et celles que l’on en aura tirées au moyen de mn différentiations successives.

Mais ces différentiations peuvent être faites de bien des manières différentes :

Sipar exemple on ne veut éliminer qu’une constante, on pourra différentier l'équation après l'avoir mise préalablément sous telle forme que l’on voudra; on aura ainsi diverses équations du premier ordre, et l’on éliminera la constante entre l’une quelconque d’entre elles et l’équation proposée.

Si l’on veut éliminer deux constantes, on pourra différentier deux fois de suite l'équation mise sous une forme arbitraire; on aura ainsi trois équations renfermant les deux quantités à éliminer. Ou bien encore on éliminera d’abord l’une d’elles entre l'équation proposée et celle du. premier ‘ordre qu'on en déduira; puis, traitant de même léquation ainsi obtenue, on en éliminera la seconde constante.

Les combinaisons seraient plus multipliées encore sil s'agissait d'éliminer un plus grand nombre de constantes. Or nous allons démontrer que, de quelque manitre que cette élimination ait été faite, on obtient toujours la

dy même équation entre x, ÿ, ——» etc., et les constantes non dx

éliminées. |

Supposons, en effet, s’il est possible, que l’on parvienne ainsi à .deux équations diflérenies, en éliminant les mêmes constantes en nombre m, et soient ces deux

équations, résolues par rapport à An dry dy arr A — = F L — ns —— dx" ( ? TV dx” ? dx”! ?

d'y d dei LS #j,. : ARS FA dx dat ;

pr |

2.0 LIVRE IV. : EX ie Ces foneuons F, f, étant les dérivées m°”*°*dela même fonction y, ont des valeurs égales, quel que soit æ. Soit VE ; q ,

x, une valeur quelconque attribuée à x eb ÿo, (2) ) | AM

d nr :

(—) : les valeurs correspondantes que prennent y et

ses m—1 premières dérivées, et qui peuvent être supposées égales à des quantités quelconques, en choisissant convenablement les m constantes éliminées.

Ainsi les deux expressions suivantes :

dy DATE à F Lo) DAT EE NA. … dem à ?

dy \ dr f [2 Jos (joe (=), p

doivent être égales, quel que soit x,, pour toutes les va-

lé e Lol , » dy leurs données arbitrairement aux quantités yo, RS T0

m1 (7 Se ie . > et aux constantes non éliminées ; par consé- L AT FER 0

quent, toutes ces diverses quantités oise y entrer d’une manière identique. Maïs elles y entrent de la même ma-

dy d MA +4

nière que x, 2 AE" » et les constantes non éli-

dant # > ne $ dm y minées entrent dans les deux expressions de pese done . + ° ces deux expressions sont identiques, et les deux équadd"

tions difiérentielles, résolues par rapport à le sont,

FE par conséquent ; d’où se déduit cette importante proposition : |

De quelque manière que l’on parvienne à une équation différentielle de l’ordre m, en partant d’une méme équaliort entre x et Y: et éliminant les mémes constantes en nombre m, on obtiendra toujours la méme:

à # MX OME NES | y

11. Cetté proposition donne lieu à quelques remarques utiles.

En effet,»parmi toutes les manières d'opérer ce calcul, choïsissons en particulier la suivante :

Éliminons d’abord l’une des constantes entre l’équation proposée.et sa première dérivée. Éliminons de même uné "seconde constante entre l'équation obtenue et sa dérivée; puis une troisième constante entre la nouvelle équation ainsi obtenue et sa dérivée, et ainsi de suite, jusqu’à ce que les » constantes désignées aient disparu. Nous aurons ainsi l'équation cherchée du m°°"° ordre; et, par les raisons déjà données, cette équation, et. même toutes les intermédiaires, seront identiques à celles que l'on obtiendrait par d’autres procédés, en éliminant les mêmes constantes. Mais l’ordre dans lequel on élimine les m constantes détermine les équations intermédiaires ; et autant on peut faire de combinaïsons 7 à n avec m lettres, autant on pourra obtenir d'équations différentes de l’ordre z, dont chacune ne pourra d’ailleurs avoir qu'une seule forme. On tire de là cette conséquence importante :

Toute équation différentielle de l'ordre m peut étre déduite de m équations différenies de l'ordre-m —x1, qui renferment chacune une constante arbitraire ; de m(m—i1)

———— cquations de l’ordre m—2, quien renferment ME

de, mu 21) Am —nL%Er) deux ; et généralement de PONS UE MER

u * . Ê l’ordre m— nn, renfermant n constantes arbitraires.

12. D'après cela, si l’on a à intégrer une équation de l’ordre »:, on pourra chercher ses rm intégrales premières. Si l’on parvient à les déterminer, on aura #1 équations

dy d MI Y

entre x.y; » renfermant chacune une con-

dx dx"

stante arbitraire et équivalentes chacune à la proposée ; par conséquent, en éliminant les m — r1 dérivées de x, on obtiendra une équation entre x, y et m constantes arbitraires : on aura donc l'intégrale générale de léquation proposée.

Il est quelquefois plus facile de trouver les intégrales premières de l'équation de l’ordre m» +1 que l’on obtient en différentiant la proposée. Mais alors l’intégrale générale de cette dernière sera celle de la première, à l’un des membres de laquelle on aurait ajouté une constante arbitraire ; et si l’on connaissait l'intégrale de l'équation de l’ordre m +1, on aurait celle de la proposée en y faisant cette constante nulle. En conséquence on cherchera les m +1 intégrales premières; on en éliminera les m dérivées de y, puis on supposera nulle la constante en question. Mais l’une des intégrales premières n’est autre chose que la proposée augmentée de cetie constante, et se : réduit, par conséquent, à la proposée, en supposant cette constante nulle; donc, si l’on peut obtenir m» intégrales premières de l’équation de l’ordre m + 1, qui ne renferment pas la proposée, il suffira d'éliminer, entre celle-ci. et les mn intégrales, les m dérivées de y, et l’on aura l’intégrale générale demandée. :

Si l’on peut trouver l'intégrale générale de l'équation de l’ordre m + 1 par un moyen quelconque, elle renfermera mm +1 constantes arbitraires; mais ces constantes seront liées entre elles par une équation que l’on obtiendra en substituant la valeur trouvée de y dans l'équation. proposée ; de sorte que l’on aura seulement m constantes" arbitraires, comme cela doit être.