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Cette intégrale n’a pas de constante arbitraire et n’est! pas, par conséquent, l’intégrale générale. Celle-ci n’est donc pas développable suivant les puissances entières et positives de x. Et, en effet, si l’on: intègre par les mé thodes que nous ferons connaître tout à l'heure, on trous

on trouve donc y = —

vera, pour l'intégrale générale,

C ax"

"Eure nr Li .

+ La solution que nous avons trouvée est done une intégrale particulière SOS dc ==" Il est facile de voir qu'il n’y a pas d’intégrale singu= fière.

" } » , ir 0 * INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 33

” Des facteurs propres à rendre immédiatement intégrable le premier membre de l'équation. Intégration de l'équation linéaire.

” 49. Sile premier membre de l'équation Q dy+Pdx—o ”" était la différentielle d’une fonction de x et y, il serait nécessaire et suffisant que cette fonction füt égale à une constante pour que l’équation proposée füt satisfaite, La condition pour que cette circonstance ait lieu est, comme

HO°:29P 10, nous l’avons vu, ee sr Si elle n’a pas lieu, et qu’en

multipliant le premier membre de l'équation par une fonction », il devienne la différentielle d’une fonction ,

LA e 4 . A I L cetie equation sera équivalente dn U — Oo, et sera satisp

faite, soit en faisant du — 0, d’où u—=c, ce qui sera l’intégrale générale, c étant la constante arbitraire; soit en

I L2 . . LA L posant — — 0, ce qui donnera une solution singulière, si

elle ne rentre pas dans la précédente.

Ainsi, par exemple, l'équation

F(z)/(r)dr + o(x) Y(r)dx = 0

peut se mettre sous la forme

z fn), Ce) Ex o Oo + Eee] =.

et L'on y satisfait en posant, soit F (x) —o, soit b{y)—0 soit enfin

et le premier membre est une différentielle exacte, puisque les variables sont séparées.