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20. On peut démontrer qu’il existe toujours un facteur p qui rend Q dy + P dx différentielle exacte. En effet, il est démontré que l’équation proposée a une intégrale renfermant une constante arbitraire c, et que nous représenterons par F{x, y, c)=o; et l'équation différentielle a été obtenue nécessairement en éliminant c entre cette dernière et celle que l’on a obtenue en la différentiant, après lavoir transformée préalablement d’une manière quelconque, si on l’a jugé convenable. Or, quelque forme qu'on Jui ait donnée, nous avons démontré précédemment, qu'après l'élimination de c, l'équation à laquelle on sera parvenu donnera identiquement en x et y la même vady

leur pour ss Cela posé, concevons l'équation F (x, y, c)=0 mise

pv. 49 dy sous la forme o(x, y}=c, d'où An PR ES o; la

dy SAT , Ê .

valeur de tirée de cette équation, et celle que donne ax 4

l'équation proposée devant être égales, quels que soient x et y (n°10), on aura identiquement

iP do Q

Tirantdelà Petle reportant dans expression Qdy+P4x, on obtient

et, par conséquent, en mulüpliant la proposée par

j do —:—" son premier membre devient une différentielle

% L4 L Là E La INTÉCRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 35

. | I exacte. On voit, de plus, comment le facteur » — 0

est lié au premier membre de l'intégrale mise sous la forme 9 — c.

21. L'existence du facteur # étant démontrée, ik faut chercher comment il est possible de le découvrir.

Il est facile dé former l'équation qui doit le déterminer, car on doit avoir l'identité

vQ vP do do (T— dQ de d—-;,,,0ù PUS Re os S. BED Pa) à

Si y renferme à la fois x ety, cette équation est aux différentielles partielles, et plus difficile à intégrer que la proposée. Il faut donc renoncer, en général, à la détermination de ce facteur.

Mais si » ne doit renfermer qu'une variable, x par exemple, il est facile d'en déterminer la valeur. Fu effet,

do, fa : +. :

—- étant nul, l’équation précédente devient

dy dv er .

sb

dx à dy dx

Le ou

CRETE Le dQ" , e dx Q\dy Tr)

il est donc nécessaire que les coefficients donnés P et Q

"4 Rs d c soit Fe mUépen

* : I soient tels, que l'expression -— 4 É dy ue:

Q dante de y.

Lorsque cette condition sera remplie, on aura, en désignant par o (x) l’expression précédente,

bi fe x) dx,

le coeficient c étant arbitraire, et disparaïssant d’ailleurs de lui-même.

En intégrant, par les procédés relatifs aux différentielles des fonctions de deux variables indépendantes, on trouve

d’où

= 4 Je p (x} dx F' iÉ Pe"“æ dx + f Q dr = C.

La discussion serait la même pour les facteurs indépendants de x.

22. Le calcul précédent deviendrait plus simple s’il s'agissait de l'équation dy + Pdx — o. Il faudrait alors Jr hést indépendant de y; ce qui donnerait

Re Xy + X,;,

X et X, désignant des fonctions quelconques de x. L’équation doit donc être de ta forme

dy +{Xy7 + X;)dx = eo.

EE A è À JXdx En multipliant par le facteur », qui devient e ; on à |

X (d La CPRaE dy + Ke VAT FX TE dx = vi d’où SX fie

+ { Xe C désignant une constante arbitraire. On tire de là

— f Xdx (

T=e CR del

Telle est l'intégrale générale de l'équation linéaire du

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 37 premier ordre, La constante arbitraire provenant de fXdx disparait d'elle-même, et la constante Gest la seule qui entre dans la valeur de y.

Considérons , comme application très-simple ; la question suivante qui a été proposée aux géomètres par M. de Beaune, ami de Descartes.

Trouver une. courbe telle, que la sous-tangente soit à l’ordonnée comme une ligne constante est à l’ordonnée de cette courbe, diminuée de celle d’une droite inclinée d'un demi-angle droit sur l'axe des x.

En prenant l’origine au point de rencontre de cette droite et de l’axe des x, elle aura pour équation x — y, ét la condition donnée sera représentée par l'équation

DT 7 Ge

Ii Out AY = ZX, dx a dx

a étant la valeur donnée de la ligne constante. Cette équation linéaire, intégrée par un quelconque des procédés que nous avons indiqués , donne à VET FA + Ce, C étant une constante arbitraire, Si maintenant on prend pour axe des x’ la droite dont l'équation est y = x + a, et que l’on conserve la même

direction pour l'axe des LA . On aura

mi 1