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| 7 ete 1 ft 212 c ap : LT 2e PDA Re =” et, par suite, y/— Ceav?

La courbe est donc une logarithmique dont les ordonnées font avec l’axe un angle égal à uu demi-angle droit.

23. Nous avons prouvé qu'il existe dans tous les cas un facteur propre à rendre le premier membre intégrable. Voyons s'il n'en existe qu'un seul.

Soit # une première fonction telle, que » (Q dy + Pdx) soit la différentielle d’une fonction u de x et y; ilest d’abord évident que le facteur 9 (u) rendra encore lé premier membre intégrable: car, puisque v (Q dy + Pdx) = du, on aura vo (u) (Q dy + Pdx) — q{u) du, cequi est la différentielle de fo (u) du.

Soit maintenant V une autre fonction quelconque telle que V(Qdy + Pdx) —dU, U désignant une fonction de x et y. On en déduit l'identité

APTE dU.

Or, le second membre étant une différenuelle exacte, le premier qui lui est identique en xet y devrait aussi en |

ètre une; ce qui ne saurait étre ie — n'était pas une fonc-

tion de la fonction: u seulement. Ce dernier point, qu’on admet assez ordinairement comme évident, a. cependant besoin d’être plus rigoureusement établi.

Il s’agit de prouver généralement quesil’onau— f{x,y),

l'expression F(x, y) du, ou FE 21E- de e + tr |

ne peut être une différentielle exacte relativement aüx deux variables x ety, si lon n’a pas

quelle que soit d’ailleurs la fonction W.

En effet, éliminons y au moyen de l’équationu= f(x,y); F (x, y) deviendra une fonction de u et x, o(u, x). L’expression qui était une différentielle exacte relativement à x et y, le sera relativement à xet u;o{(u,x) du séra donc une différentielle exacte d’une fonction des deux variables indépendantes x et u; ce qui serait absurde si x restait dans cette expression qui ne renferme pas dx. Il

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 39 faut done que 9 (u, x) ne renferme que u, et, par conséquent, que F(x, y) soit une fonction de & ou de ACPRDE

Ainsi, en revenant à notre question particulière, si un facteur » donne au premier membre la forme de la différentielle d’une fonction u de x, y, les facteurs qui jouissent exclusivément de la même propriété seront de la forme Po (u), o désignant une fonction arbitraire.

L'équation proposée devient ainsi

du = 0, ou (u)du = 0,

d’où l’on déduit également.u = c, c désignant une constante arbitraire. NS

Tous ces facteurs conduisent done au mème résultat, et ils ne diffèrent entre eux que par le facteur o (u) qui est bien une fonction de x, y, maïs qui se réduit à une constante arbitraire en vertu de l'intégrale u = c. On voit que, si l’on connaissait deux facteurs différents qui rendissent le premier membre de l’équation intégrable, en égalant leur rapport à une constante arbitraire, on obtiendrait l'intégrale générale.

4o LIVRE IV.