CHAPITRE V

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS HOMOGÈNES, ET DE L'ÉQUATION LINÉAIRE, PAR LA SÉPARATION DES VARIABLES.

24. On parvient quelquefois, par un changement de variables, à ramener aux quadratures l'intégration de l'équation donnée, c'est-à-dire à séparer les nouvelles variables dans l'équation transformée.

Considérons d’abord une équation homogène quelconque

Mdx + Ndy = o, À c’est-à-dire telle, que M et N soient des fonctions homosènes du même ordre m de x, y. On sait qu’une fonction homogène de l’ordre m des variables x, y, z,... est celle qui se trouve multipliée par ler facteur g” quand on change respectivement les variables'en ET y LV» LEZ Etc.

Posons y = ux, d’où dy = udx + xdu.

Les fonctions M et N seront égales à x” multiplié par des fonctions de u ; et l'équation divisée par x” prend la forme

Fu) dx + f(u)(udx + xdu) = 0, ou [F(u) + df{u)]|dx + xf(u)du = 0, ou dx uw) du

et les variables sont séparées . …

é INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 4

On en déduit

LH f{u) du or Pare

g désignant une fonction connue.

Il est facile de reconnaître que toutes les courbes renfermées dans cette équation, et correspondantes aux diverses valeurs de la constante c, sont semblables et ont l'origine pour centre de similitude.

En effet, si l'on mène par ce point une sécante quelconque, les abscisses des points de rencontre avec ces différentes courbes sont entre elles comme les valeurs des

constantes correspondantes , puisque le rapport 7 est

le même; les distances à l’origine sont donc aussi dans le rapport de ces constantes, et, par conséquent, toutes ces courbes sont semblables et ont l’origine pour centre de similitude.

Le premier membre est devenu unedifférentielleexacte, en le divisant d’abord par x”, puis par

er (e)+ alu) où 2 (2) +/(2).

Donc, ensomme, il a été divisé par Mx + N y.

Aïnsi, le facteur propre à rendre le premier membre

. SiMdx+ Ndy

. La El ® Lé 1

immédiatement intégrable est Mz+Ny

était une différentielle exacte, ————— et 1 seraient deux Mz+Ny

facteurs qui rendraient le premier membre intégrable;

leur rapport serait donc égal à une constante, et l’inté-

grale générale serait, par conséquent, Mx + Ny—c.

Max + Ndy

Bu L'expression -——-" : Max +Ny

étant unc différentielle

exacte, la condition connue conduit à l'équation ! AM AM AN, AN Fe NN ApE dc Ty M UE N Ainsi, quelle que soït la fonction homogène M de adM dM M

qe “le l'ordre m, l'expression est constante. On

en connaîtra la valeur en prenant la fonction particulière x”, et lon trouve m. Donc on aura généralement"

hdd dM nM —— > 2.220 ar EN Ty 6

et l’on retrouve ainsi le théorème des fonctions homogènes. ; 26. Premier exemple. — Soit (ax + by) dx = (max + ny) dy. #

En posant

Y=ux, d'où dy = udx + xdu,

TE. } *edY AL MOT CERN l'équation proposée 7 TL enendrn dx MX + ny .

du a+ bu du a+4(b—mu— nu UT, OÙ ES EE, dx m + nu dx m + nu d’où l’on tire dx m + nu Le — du ; x a+(b—mju— nu

les variables étant séparées, on intégrera les deux mem bres, ce qui n’ofirira aucune difliculté. On remplacera

. 4 Q a Là , lé ensuite u par —, et l'on aura l'intégrale générale de léquas

uon pro posée.

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