Deuxième exemple. — Soit xdy — ydx = dx x’ + y
Cette équation étant encore homogène relativement à x ty, on poseray—=ux, et l’on obtiendra, toute réduction faite, R
——— dx du xdu = dx V1 > ail ou nr see intégrant les deux membres, et désignant par c une constante arbitraire, il vient
log = = log (« + Vi + u:) à
PET FENT.
e=elu+ Vire) e(T+ Vi+5).
On en tire successivement
d’où
2 c(y + Vz + »°), (x y} =c(x +),
et enfin DE Rte CES
28. Troisième exemple. — On peut quelquefois, par une transformation simple , rendre homogène une équaüon qui ne l’est pas. Soit, par exemple,
(ax + by + m) dx = {px + qy + n) dy;
pour faire disparaître les termes indépendants de x et y, soient
em np y +6, d'où. dr = dz', ::dy = dr, et déterminons x et 6 par les deux conditions
au+b6+m—=Oo, pa +6 +nr—=o,
qui donneni 4 nb — mq __ Np— na Tag — bp? 7 ag — bp’ et supposons d’abord que l’on n'ait pas aq — bp = 0, L'équation proposée se trouvera ramenéeà la suivante :
(ax + by") dx" = (pa! + qy') dy,
qui est homogène, et que l’on intégrera comme précédéni ment; puis on remplacera x’ et y’ par x—a, y 6, Mais cette transformation serait impossible si l’on avail aq— bp = 0. Dans ce cas, l’équation proposée devient,
en remplaçant ç par sa valeur de Ù ÿ (ax + by)(adx — pdy) = a(ndy — mdx).
On posera alors :
ax+by=2z, d'où dy = se m7 {
et l'élimination de y donnera
(an + pz) dz an + mb +(b+ p)2
adx —
les variables étant séparées, le problème est ramené à celui des quadratures.
Dans le cas général, on aurait encore pu rendre l'équ ion homogène, en posant
az + by+m=t, pr+qy +n=u,
d'où l’on tre
TRE qdt — bdu d adu — ER aq — bp
ag — bp À
et l'équation proposée se trouve transformée dans la sui vante, qui est homogène :
(pu + qt) dt = (au +- bt) du.
99. Prenons pour application géométrique une ques- ‘tion qui a beaucoup occupé les géomètres à l’origine du calcul intégral, et qu’ils appelaient le problème des tra- ‘jectoires. Il s’agit de trouver une courbe qui coupe, sous un angle donné, toutes celles qui sont renfermées dans :une équation donnée
A) | PT, Ya) — 0,
{dans laquelle le paramètre a peut prendre toutes les va- LISE possibles.
Si l’on désigne par 7 la tangente de l’angle donné, par h. , Y' les coordonnées d’un point quelconque du keds et par & l’angle que forme avec l’axe des x la tangente à la
{courbe donnée, on devra avoir
— — lang (2) Ho is X 1. +- ax, tang « dx! 4 Or l'équation (r) donne dE dx’ :
Ange —— EF ; D «
l’équation (2) deviendra donc
(3) m EME dy Dr Gr TRE = dy dx' dx dx
et comme on a en même temps F (25 YS, a) — ©, si l’on élimine « entre cette équation et l'équation (3), on
aura une équation entre les coordonnées d’un poini quelconque du lieu.
Examinons en particulier le cas où l'équation ( 1) st
46 | LIVRE 1V. Re | de la forme fe:
(4) Y" = ax? | *
on aura dF
a = me (APT! pres Ets PV!
dx F 9 44 ,
dy
et l'équation (3) deviendra
m | ny"! + apal a — ny"! ay + apxPT!' = 0; | dx dx É | 4 à en éliminant a entre cette équation et la premières or
obtient dy \ dy Tr (5) m (ne+ pr %) = ROSES ù
équation homogène qu'on intégrera sans difficulté. 1°. Supposons, par exemple, 7 = p =1, l'équatior donnée (4) devient ; j = ax;
et représente toutes les droites qui passent par l’origme L’équation (5) devient
m (xdx + ydy) — xdy + ady = 0.
On reconnaît ici que le premier membre devient un: différentielle exacte, en le divisant par x° + y°. On ar donc, en intégrant,
m log (x? + y?)* — arc tang Te.
Si l’on passe à des coordonnées polaires, en posant
z'== r COS 0) » FARINE, on irouve mlogr—=0+c, d’où 0+c
