NUE AP
Si l’on a, de plus, r = p — 1, la trajectoire a pour équation + Y°=C,
ce qui donne un cercle quelconque ayant pour centre le point de concours des droites représentées par l'équation donnée
Si = — p=1, les courbes données ont pour équation
LA
« . . “ y ——; et sont toutes les hyperboles équilatères ayant F4
pour asymptotes les axes de coordonnées, Les trajectoires ont pour‘équation générale x? —3*—c, et sont toutes les hyperboles équilatères ayant pour asymptotes les bissectrices des angles des asymptotes des premières.
30, Équation linéaire. — On peut encore, par un changement de variables, intégrer l'équation linéaire du premier ordre dy + Xydx + X,dx = 0.
Soit y—uz; u et z étant des fonctions de x indéterminées, on aura dy — udz + zdu, et en substituant,
udz + zdu + Xuzdx + X, dx = 0.
On peut déterminer d’abord u d’après la condition du Xudx — 0, et il en résultera udz + X,dx =. Or les variables se séparent dans l’avant-dernière, en
eee : du divisant par u; ce qui donne — + X dx = 0.
En intégrant, il vient logu + f X dx = 0, la constante arbitraire étant comprise dans l'intégrale indéfinie.
à à — fXdx ; “ On tire de là u —e J : substituant dans l'équation udz + X, dx = 0, il vient
— f Xdx JXdzx €
d+X,dx=0o, d'où z=—/fXe dx + C,
C étant la constante arbitraire relative à la nouvelle inté-
43 e Le ee « . e e , l grale, qui sera prise à partir de telle limite que l’on vou dra. On aura ainsi |
PE SXdx JXdzx
Le (C—/f Xe dx).
La constante arbitraire de /Xdx disparaît d'elle même de cette expression, et il n’en reste qu'une, comme cela doit être. On retrouve ainsi l'intégrale déjà donnée par une autre méthode.
31. Équation de Bernoulli. — On peut ramener à | l'équation linéaire la suivante, qui.a été traitée d'abord par Jacques Bernoulli :
dy + Xydx = X, Y'T'dæ,.
Si l'on pose D oo 72: "| et; parsuites dr=— 2 i0fdz,
on trouve, en substituant dans la proposée et réduisant, dz— nXzdx + nX;dx = 0,
équation linéaire dont l'intégrale est, d’après la formule £ précédente,
nf Xdzx Feet J
Bad)
(C— nf X;e ;
La valeur de y s’en déduit immédiatement.
On peut arriver au même résultat par une autre transformation , déjà employée pour l’équation linéaire. Soit y = uz; l'équation proposée devient udz + zdu + Xuzdx = X,u"*!zt#! dr, et peut se partager dans les deux suivantes:
d'at-X dr, =i0 «du > Xu"tier da:
d’où l’on tire
T - Puy Ur —n ( Ÿ X: USE dr AK c) 9 F4
l'intégrale JXdx étant indéfinie, On en déduit
I d À = L— — ne EU X,e RARE a te c).
y ds
La constante introduite par f X dx disparaît évidemment, de sorte qu'on peut prendre cette intégrale à partir d’une valeur quelconque ; y ne contiendra donc que la seule constante C.
Remarque. — On peut quelquefois déterminer l’intégrale générale &’une équation du premier ordre, dont on
IL, n
5o LIVRE IV.
connaît une intégrale particulière, au moyen d'une transformation très-simple, employée par Euler.
Soit, par exemple,
dy + X ydx = X, y? dx + X: dx.
Cette équation a de plus que la précédente le terme X, dx;
mais l’exposant 7 + 1 a la valeur particulière 2. Suppo-
sons que z soit une fonction de x qui satisfasse à cette
équation sans renfermer de constante arbitraire, et po sons y — z + u, u étant une fonction inconnue de x. En
ayant égard à l'équation
dz + X zdx = X, z° dx + X,dx, qui a lieu par hypothèse , il restera du + (X — 22X,) udx = X, u’ dx.
Cette équation étant renfermée dans celle qui vient d’être intégrée, on en tirera la valeur de uw, avec une constante arbitraire, et l’on connaîtra, par suite, la valeur générale de y. |
Si l’on n'avait pas 2 +1 — 2, la même substitution ferait encore disparaître X, dx, mais elle introduirait de nouvelles puissances de y qui ne permettraient plus d'iniégrer la transformée.
